《2025年新课程学习指导七年级数学上册华东师大版》

8.(经典题·整体思想)先阅读下面的解题过程，再解答后面的题目.
例：已知代数式$4y^{2} + 6y - 9$的值是-7，求代数式$2y^{2} + 3y + 7$的值.
解：由$4y^{2} + 6y - 9 = -7$得$4y^{2} + 6y = -7 + 9$，
即$4y^{2} + 6y = 2$.
因此$2y^{2} + 3y = 1$.
所以$2y^{2} + 3y + 7 = 1 + 7 = 8$.
题目：已知代数式$3x^{2} - 2x + 5$的值是-9，
求$9x^{2} - 6x + 2$的值.

答案： 由$3x^{2} - 2x + 5 = -9$，
得$3x^{2} - 2x = -14$，
等式两边同时乘以$3$，得：
$9x^{2} - 6x = -42$，
所以$9x^{2} - 6x + 2$
$= -42 + 2 $
$= -40$，
所以，代数式$9x^{2} - 6x + 2$的值为$-40$。

9.(经典题·数学诊断)有这样一道题：“当$a = 2$，$b = -2$时，求多项式$2(a^{2} - 3ab + 3b) - 3(-a^{2} - 2ab + 2b)$的值.”小虎做题时把$a = 2$错抄成$a = -2$，小真没抄错题，但他们算出来的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由.

答案： 解：化简多项式：
$\begin{aligned}&2(a^{2} - 3ab + 3b) - 3(-a^{2} - 2ab + 2b)\\=&2a^{2} - 6ab + 6b + 3a^{2} + 6ab - 6b\\=&(2a^{2} + 3a^{2}) + (-6ab + 6ab) + (6b - 6b)\\=&5a^{2}\end{aligned}$
化简结果为$5a^{2}$，与$b$无关。
当$a = 2$时，$5a^{2}=5×2^{2}=20$；
当$a = -2$时，$5a^{2}=5×(-2)^{2}=20$。
因为$a^{2}$的值在$a = 2$和$a = -2$时相同，所以两人结果一样。
结论：多项式化简后为$5a^{2}$，$a^{2}$在$a = 2$与$a = -2$时的值相同，故结果相同。

10.(经典题·分类讨论)某商场销售一款西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元.方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的90%付款.现一客户到该商场买西装20套，领带$x$条($x＞20$).
(1)若该客户按方案一购买，需付款$(40x + 3200)$元.(用含$x$的代数式表示)
(2)若该客户按方案二购买，需付款$(36x + 3600)$元.(用含$x$的代数式表示)
(3)若$x = 30$，通过计算说明此时按哪种方案购买较为划算？
(4)若$x = 30$，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法.

答案：
(1)方案一：买一套西装送一条领带。客户买20套西装，则会获得20条免费的领带。因此，客户只需为超出的$x-20$条领带付款。所以，需付：$200 × 20 + 40(x - 20) = 4000 + 40x - 800 = 3200 + 40x$。
答案：$(40x + 3200)$。
(2)方案二：西装和领带都按定价的90%付款。所以，需付：$(200 × 20 + 4x× 0{x (或 40x × 0.9 + 200 × 20 × 0.9})= 3600 + 36x$（元）（将$200× 20 × 0.9$算出结果为$3600$，$40x× 0.9$为$36x$）。
答案：$(36x + 3600)$。
(3)当$x = 30$时：
方案一的费用：$40x + 3200 = 40 × 30 + 3200 = 1200 + 3200 = 4400$（元）。
方案二的费用：$36x + 3600 = 36 × 30 + 3600 = 1080 + 3600 = 4680$（元）。
因为$ 4400 \lt 4680$，所以按方案一购买较为合算。
(4)新购买方法：
首先按照方案一购买20套西装，并获得20条免费领带，费用为$200 × 20 = 4000（元）$。
然后，剩下的10条领带按照方案二购买，也就是按定价的$90\%$付款，费用为：
$10 × 40 × 0.9 = 360（元）$，
因此，总费用为：$4000 + 360 = 4360（元）$。
因为$4360 \lt 4400$，
所以此种购买方法更为省钱，总费用为4360元。