《2025年新课程学习指导七年级数学上册华东师大版》

6.(经典题·推理演绎)阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务.
作差法
在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是将数或代数式进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一，所谓“作差法”就是通过作差、变形后，利用差的符号来确定它们的大小.例如，要比较$a$和$a-2$的大小，我们可以用$a-(a-2)$得到2.因为2大于0，所以$a-(a-2)$大于0，因此$a ＞ a-2$.
任务：
(1)比较大小：$a - 1$<$a + 2$.
(2)已知$A = a^{2} - 3a - 9$，$B = -3a -10$，比较$A$与$B$的大小关系.

答案：
(1) 作差：$(a - 1) - (a + 2) = a - 1 - a - 2 = -3$，因为$-3 ＜ 0$，所以$a - 1 ＜ a + 2$。答案：$＜$
(2) 作差：$A - B = (a^2 - 3a - 9) - (-3a - 10) = a^2 - 3a - 9 + 3a + 10 = a^2 + 1$，因为$a^2 \geq 0$，所以$a^2 + 1 \geq 1 ＞ 0$，即$A - B ＞ 0$，因此$A ＞ B$。答案：$A ＞ B$

7.(情境题·实践与综合)
田径比赛中，在进行4000米比赛时，运动员的起跑点并不处在同一条线上，为什么这样呢？如果比赛的起点和终点同在一条直线上，显然，对内侧跑道上的运动员较为有利.原因是内侧跑道的路程较短，因此，为了公平比赛，在外侧跑道的运动员的起跑点必须前移.
【问题情境】
如图4是某校操场实物图，图5是操场示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的，活动小组对学校操场跑道最内圈长为400米的跑道进行规划设计，且最内圈两端半圆弧的半径$R$为36米.($\pi$取3.14）
【数据计算】
(1)分别求出最内圈两端半圆形跑道的总长度和直道总长度；
(2)在活动中发现最外沿跑道周长$b$随跑道宽度$a$(距最内圈的距离)的变化而变化，用含$a$的代数式表示$b$.
【问题解决】
(3)现学校计划铺设宽度为1米的跑道共8条，则该校操场最外沿道路周长为多少米？

答案：
(1)最内圈两端半圆形跑道构成一个整圆，其半径为$R = 36$米，根据圆的周长公式$C = 2\pi R$，可得两端半圆形跑道总长度为：
$2×\pi× R=2×3.14×36 = 226.08$（米）
因为最内圈长为$400$米，所以直道总长度为：
$400 - 226.08 = 173.92$（米）
(2)最外沿跑道两端半圆形跑道的半径为$(R + a)$，则两端半圆形跑道总长度为$2\pi(R + a)$米，直道长度不变仍为$173.92$米，所以最外沿跑道周长$b$为：
$b = 2\pi(R + a)+173.92=2×3.14×(36 + a)+173.92 = 6.28a + 400$
(3)已知$a = 8×1 = 8$米，把$a = 8$代入$b = 6.28a + 400$可得：
$b = 6.28×8 + 400 = 450.24 + 400 - 400（原内圈400米中已含内道圆周长部分，这里按公式计算整体周长）= 450.24$（按公式$b = 6.28a + 400$直接算出结果）
$b=6.28×8 + 226.08+173.92 - 226.08（从内圈构成角度重新组合计算，结果一致）=450.24$
综上，答案依次为：
(1)最内圈两端半圆形跑道总长度为$226.08$米，直道总长度为$173.92$米；
(2)$b = 6.28a + 400$；
(3)$450.24$米。