《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

变式2 如图,在△ABC中,O是边AC上的一个动点,过点O作直线MN,交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.给出下列信息：①MN//BC；②OE= OC；③OF= OC.
(1)请在上述3条信息中选择其中一条作为条件,证明：OE= OF；
(2)在(1)的条件下,连接AE,AF,当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？请说明理由.

答案：
(1)选择MN//BC,理由如下:
∵MN//BC,
∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF.
∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,
∴∠BCE=∠ACE,∠DCF=∠ACF,
∴∠OEC=∠ACE,∠OFC=∠ACF,
∴OE=OC,OF=OC,
∴OE=OF.(答案不唯一)
(2)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形,理由如下:当O为AC的中点时,AO=CO,由
(1)可知,OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,
∴∠ACE=∠BCE,∠ACF=∠DCF,
∴∠ACE+∠ACF=$\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$,即∠ECF=90°,
∴平行四边形AECF 是矩形.

例3 如图,在△ABC中,D是AB上一点,AD= DC,DE平分∠ADC交AC于点E,DF平分∠BDC交BC于点F,∠DFC= 90°.
(1)求证：四边形CEDF是矩形；
(2)若∠B= 30°,AD= 2,连接BE,求BE的长.
点拨 (1)证明∠EDF= ∠CED= 90°,即可得出结论；(2)证明△ACD是等边三角形,再由勾股定理求得DE,然后由三角形中位线定理得BC= 2DE,由勾股定理即可得出结论.

答案：

(1)
∵DE平分∠ADC,DF平分∠BDC,
∴∠ADE=∠CDE=$\frac{1}{2}\angle ADC$,∠CDF=$\frac{1}{2}\angle BDC$,
∴∠CDE+∠CDF=$\frac{1}{2}(\angle ADC+\angle BDC)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$,即∠EDF=90°.
∵AD=DC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴∠CED=∠AED=$\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$.又
∵∠DFC=90°,
∴四边形CEDF是矩形.
(2)如图,由
(1)可知,四边形CEDF是矩形，
∴∠CED=∠ECF=90°,
∴∠A=90°-∠ABC=90°-30°=60°,DE⊥AC.
∵AD=DC,
∴CE=AE,△ACD是等边三角形,
∴∠ACD=60°,AC=AD=2,
∴AE=CE=1,
∴DE=$\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
∵∠DCB=∠ECF-∠ACD=90°-60°=30°,
∴∠DCB=∠ABC,
∴DB=DC=AD,
∴DE是△ABC的中位线,
∴BC=2DE=2$\sqrt{3}$.在Rt△BCE中,由勾股定理得BE=$\sqrt{CE^2+BC^2}=\sqrt{1^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{13}$.　　　　　　

变式3 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,BC= 8,AC= 6,P为边AB上一动点(P不与B,A重合),PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,M为EF中点,则CM的取值范围是( )

A.$\frac{12}{5}\leq CM＜4$
B.$3\leq CM＜\frac{24}{5}$
C.$\frac{12}{5}\leq CM＜3$
D.$\frac{24}{5}\leq CM＜6$

答案：
A　解析:如图,连接PC.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=8,AC=6,
∴AB=$\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$.
∵PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,
∴∠PEC=∠PFC=∠ACB=90°,
∴四边形PECF是矩形,
∴EF=PC,EF与PC互相平分.
∵M为EF中点，
∴M为PC的中点,
∴CM=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$PC,当PC⊥AB时,PC=$\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$,此时CM有最小值为$\frac{12}{5}$.
∵PC＜BC,
∴PC＜8,
∴CM＜4,
∴$\frac{12}{5}\leq CM＜4$.故选A.