《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例2 如图,在等腰梯形 $ABCD$ 中,$\angle DCB = 60^{\circ}$,$AD // CB$,且 $AD = DC$,点 $E$ 与点 $F$ 分别在 $AD$ 和 $DC$ 的延长线上,且 $DE = CF$,$AF$ 与 $BE$ 交于点 $P$。
(1) 求证：$AF = BE$；(2) 请你猜测 $\angle BPF$ 的度数,并证明你的结论。
点拨 (1) 根据等腰梯形的性质证明 $\triangle BAE \cong \triangle ADF$,可得出结论。(2) 根据题意和全等三角形的性质可得出答案。

答案：
(1)由题意得,BA = DC,∠BAE = ∠ADF。
∵AD = DC,DE = CF,
∴BA = AD,AD + DE = DC + CF,
∴AE = DF,
∴△BAE≌△ADF(SAS),
∴AF = BE;
(2)猜测∠BPF = 120°。证明如下:
∵∠DCB = 60°,
∴∠BAE = 120°。
由△BAE≌△ADF可得∠ABE = ∠DAF,
故可得∠BPF = ∠ABE + ∠BAF = ∠DAF + ∠BAF = ∠BAE = 120°。

变式2 (重庆自主招生)如图,在梯形 $ABCD$ 中,$AD // BC$,$AC \perp BD$ 于点 $O$,$AB = DC$,$AD = 3$,$BC = 7$,则下列结论：① $\angle OCB = 45^{\circ}$；② $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle OCD} = \frac{21}{4}$；③ $S_{梯形ABCD} = 25$；④ $AD$ 和 $BC$ 两平行线间的距离为 $5$。其中正确的有①②③④。(填序号)

答案： ①②③④

例3 梯形中位线问题：如图,分别以 $\triangle ABC$ 的边 $AC$,$BC$ 为一边,在 $\triangle ABC$ 外作正方形 $ACDE$ 和正方形 $CBFG$,连接 $EF$,$P$ 是 $EF$ 的中点,求证：点 $P$ 到 $AB$ 的距离是 $AB$ 的一半。
点拨 分别过点 $E$,$F$,$C$,$P$ 作 $AB$ 的垂线,垂足依次为 $R$,$S$,$T$,$Q$,则 $PQ = \frac{1}{2}(ER + FS)$,易证 $Rt\triangle AER \cong Rt\triangle CAT$,$Rt\triangle BFS \cong Rt\triangle CBT$,再根据全等三角形的性质即可得证。

答案： 如图,分别过点E,F,C,P作AB的垂线,垂足依次为R,S,T,Q,则ER//PQ//FS。
∵P是EF的中点,
∴Q为RS的中点，
∴PQ为梯形EFSR的中位线，
∴PQ = $\frac{1}{2}$(ER + FS)。
∵AE = AC,∠AER = ∠CAT,∠R = ∠ATC = 90°,
∴Rt△AER≌Rt△CAT(AAS),同理Rt△BFS≌Rt△CBT,
∴ER = AT,FS = BT,
∴ER + FS = AT + BT = AB,
∴PQ = $\frac{1}{2}$AB。