《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例 2 如图①,已知锐角三角形 $ ABC $ 中,$ CD $,$ BE $ 分别是 $ AB $,$ AC $ 边上的高,$ M $,$ N $ 分别是线段 $ BC $,$ DE $ 的中点。
(1) 求证：$ MN \perp DE $。
(2) 连接 $ DM $,$ ME $,猜想 $ \angle A $ 与 $ \angle DME $ 之间的关系,并证明猜想。
(3) 当 $ \angle A $ 变为钝角时,如图②,上述(1)(2)中的结论是否都成立？若结论成立,直接回答,不需证明；若结论不成立,说明理由。
点拨 (1) 连接 $ DM $,$ ME $,根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质证明；(2) 根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算；(3) 仿照(2)的计算过程解答。

答案：
(1)如图①,连接DM,ME,
∵CD,BE分别是AB,AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}BC$,ME=$\frac{1}{2}BC$,
∴DM=ME.又
∵N为DE的中点，
∴MN⊥DE.
(2)∠DME=180°−2∠A.证明如下:在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°−∠A,
∵DM=ME=BM=MC,
∴∠BMD+∠CME=(180°−2∠ABC)+(180°−2∠ACB)=360°−2(∠ABC+∠ACB)=360°−2(180°−∠A)=2∠A,
∴∠DME=180°−2∠A.
(3)结论
(1)成立,结论
(2)不成立,理由如下:如图②,连接DM,ME,在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC,
∵DM=ME=BM=MC,
∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2(180°−∠BAC)=360°−2∠BAC,
∴∠DME=180°−(360°−2∠BAC)=2∠BAC−180°.

变式 2 已知：如图,$ \angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ} $,$ E $,$ F $ 分别是 $ AC $,$ BD $ 的中点。
(1) 求证：$ EF \perp BD $；(2) 若 $ \angle BAD = 30^{\circ} $,$ AC = 10 $,求 $ BD $ 的长。

答案：
(1)如图,连接BE,DE,
∵∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点,
∴BE=$\frac{1}{2}AC$,DE=$\frac{1}{2}AC$,
∴BE=DE.
∵F是BD的中点，
∴EF⊥BD.
(2)
∵∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点,
∴BE=$\frac{1}{2}AC$,DE=$\frac{1}{2}AC$,
∴AE=BE=DE,
∴∠BAE=∠ABE,∠EAD=∠EDA.
∵∠BEC=∠BAE+∠ABE,∠CED=∠EAD+∠EDA,
∴∠BEC+∠CED=∠BAE+∠ABE+∠EAD+∠EDA,
∴∠BED=2(∠BAE+∠EAD)=2∠BAD=2×30°=60°.
∵BE=ED,
∴△EBD是等边三角形，
∴BD=BE=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$.