《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

8. 如图,在 $ □ ABCD $ 中,对角线 $ AC $,$ BD $ 相交于点 $ O $,$ OA = 5 cm $,$ E $,$ F $ 为直线 $ BD $ 上的两个动点 (点 $ E $,$ F $ 始终在 $ □ ABCD $ 的外面),连接 $ AE $,$ CE $,$ CF $,$ AF $。
(1) 若 $ DE = \frac{1}{2}OD $,$ BF = \frac{1}{2}OB $。
①求证：四边形 $ AFCE $ 为平行四边形；
②若 $ CA $ 平分 $ \angle BCD $,$ \angle AEC = 60^{\circ} $,求四边形 $ AFCE $ 的周长。
(2) 若 $ DE = \frac{1}{3}OD $,$ BF = \frac{1}{3}OB $,四边形 $ AFCE $ 还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由。若 $ DE = \frac{1}{n}OD $,$ BF = \frac{1}{n}OB $ 呢？请直接写出结论。

答案： 8.
(1)①
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵DE=$\frac{1}{2}$OD,BF=$\frac{1}{2}$OB,
∴DE=BF,
∴OE=OF,
∴四边形AFCE为平行四边形②在▱ABCD中,AD//BC,
∴∠DAC=∠BCA.
∵CA平分∠BCD,
∴∠BCA=∠DCA,
∴∠DCA=∠DAC,
∴AD=CD.
∵OA=OC,
∴OE⊥AC,
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE.
∵∠AEC=60°,
∴△ACE是等边三角形,
∴AE=CE=AC=2OA=10cm.
∴C四边形AFCE=2(AE+CE)=2×(10+10)=40(cm).
(2)若DE=$\frac{1}{3}$OD,BF=$\frac{1}{3}$OB,四边形AFCE是平行四边形理由:
∵DE=$\frac{1}{3}$OD,BF=$\frac{1}{3}$OB,OD=OB,
∴DE=BF,
∴OB+BF=OD+DE,即OF=OE.
∵OA=OC,
∴四边形AFCE为平行四边形.若DE=$\frac{1}{n}$OD,BF=$\frac{1}{n}$OB,则四边形AFCE为平行四边形.理由:
∵DE=$\frac{1}{n}$OD,BF=$\frac{1}{n}$OB,OD=OB,
∴DE=BF,
∴OB+BF=OD+DE,即OF=OE,
∵OA=OC,
∴四边形AFCE为平行四边形.

9. (无锡中考) 如图,在平行四边形 $ ABCD $ 中,$ AB : BC = 3 : 2 $,$ \angle DAB = 60^{\circ} $,$ E $ 在 $ AB $ 上,且 $ AE : EB = 1 : 2 $,$ F $ 是 $ BC $ 的中点,过 $ D $ 分别作 $ DP \perp AF $ 于 $ P $,$ DQ \perp CE $ 于 $ Q $,则 $ DP : DQ $ 等于 (D)

A.$ 3 : 4 $
B.$ \sqrt{13} : 2\sqrt{5} $
C.$ \sqrt{13} : 2\sqrt{6} $
D.$ 2\sqrt{3} : \sqrt{13} $

答案： 9.D

10. (温州自主招生) 如图,已知 $ P $ 是 $ □ ABCD $ 内一点,过 $ P $ 作 $ EF // BC $,$ GH // AB $,点 $ E $,$ F $,$ G $,$ H $ 分别在边 $ AB $,$ CD $,$ AD $,$ BC $ 上。若 $ S_{□ PEBH} = 6 $,$ S_{□ PCDF} = 4 $,则 $ \triangle PAC $ 的面积为______1。

答案： 10.1

11. (全国初中数学竞赛) 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ABC $,$ \angle ACB $ 的平分线相交于 $ O $ 点。过点 $ O $ 作 $ MN // BC $,$ EF // AB $,$ GH // AC $,$ BC = a $,$ AC = b $,$ AB = c $,则 $ \triangle GMO $ 的周长 $ + \triangle ENO $ 的周长 $ - \triangle FHO $ 的周长 = b+c−a。

答案： 11.b+c−a

12. 如图,在平行四边形 $ ABCD $ 中,点 $ E $ 在 $ AB $ 边上,将 $ \triangle ADE $ 沿着 $ DE $ 翻折得到 $ \triangle A' DE $,已知 $ AB = 14 $,$ AD = 13 $,$ BD = 15 $,设 $ BE = x $,当点 $ A' $ 落在 $ \triangle CDE $ 内部或边上时,$ x $ 的取值范围为1≤x≤2$\sqrt{13}$−5。

答案： 12.1≤x≤2$\sqrt{13}$−5

13. (全国初中数学竞赛) 如图,在 $ □ ABCD $ 中,$ AE \perp BC $ 于 $ E $,$ AF \perp CD $ 于 $ F $,$ \triangle AEF $ 的两条高相交于 $ M $,$ AC = a $,$ EF = b $,求 $ AM $ 的长。

答案： 13.过点C作CG⊥AD交AD于点G,连接EG,FG,如图所示
∵AE⊥BC于点E,
∴CG//AE.又
∵▱ABCD的边AD//BC,
∴四边形AECG是矩形，
∴AE=GC,EG=AC=a.
∵EM⊥AF,AF⊥CD,
∴EM//CF,
∴∠AEM=∠GCF,
∵FM⊥AE,AE⊥BC,
∴EC//FM,
∴四边形EMFC是平行四边形,
∴EM=CF.在△AEM和△GCF中,{AE=GC,∠AEM=∠GCF,EM=CF,
∴△AEM≌△GCF(SAS),
∴AM=GF,∠EAM=∠CGF.
∵∠EAG=∠CGD=90°,
∴∠MAG=∠FGD,
∴AM//GF:
∵△AEF的两条高相交于点M,
∴AM⊥EF,
∴GF⊥EF,在Rt△EFG中,GF=$\sqrt{EG²−EF²}$=$\sqrt{a²−b²}$,
∴AM=$\sqrt{a²−b²}$

14. (全国初中数学竞赛) 如图,任意五边形 $ ABCDE $,$ M $,$ N $,$ P $,$ Q $ 分别为 $ AB $,$ CD $,$ BC $,$ DE $ 的中点,$ K $,$ L $ 分别为 $ MN $,$ PQ $ 的中点,求证：$ KL // AE $ 且 $ KL = \frac{1}{4}AE $。

答案： 14.连接BE,取其中点R,连接MR,RN,PR,PN,NQ,RQ.
∵点M是AB的中点,R是BE的中点，
∴MR//AE,MR=$\frac{1}{2}$AE.
∵R,N,P,Q分别为BE,CD,BC,DE的中点,连接CE,
∴PR//CE,PR=$\frac{1}{2}$CE,NQ//CE,NQ=$\frac{1}{2}$CE,
∴PR//NQ,PR=NQ,
∴四边形PNQR是平行四边形，
∴RN与PQ互相平分.
∵点L是PQ 的中点，
∴点L是RN的中点
∵点K是MN的中点，
∴KL//MR,KL=$\frac{1}{2}$MR,
∴KL//AE,KL=$\frac{1}{4}$AE.