《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例 1 在平面直角坐标系中,原点为 $ O $,点 $ P(m,n) $,已知一次函数的图象过点 $ A(0,5) $,点 $ B(-1,4) $。
(1) 求这个一次函数的表达式；
(2) 当 $ n = 0 $ 时,求 $ PA + PB $ 最小时 $ m $ 的值；
(3) 当点 $ P $ 经过直线 $ AB $,且 $ \triangle OAP $ 的面积等于 $ \triangle OAB $ 的面积的 $ 2 $ 倍时,求 $ n $ 的值。
点拨 (1) 利用待定系数法求一次函数的表达式；(2) 作点 $ A $ 关于 $ x $ 轴的对称点 $ A' $,连接 $ A'B $ 交 $ x $ 轴于点 $ P $,此时 $ PA + PB $ 取最小值；(3) 利用三角形面积公式列方程求解。

答案：
(1)设这个一次函数的表达式是y=kx+b,k≠0,把点A(0,5),点B(−1,4)代入y=kx+b,得{b=5,−k+b=4,解得{k=1,b=5,
∴这个一次函数的表达式是y=x+5.
(2)作点A关于x轴的对称点A',连接A'B交x轴于点P,此时PA+PB取最小值，如图①所示.
∵点A的坐标为(0,5),
∴点A'的坐标为(0,−5).设直线A'B的表达式为y=ax+c,a≠0,将点B(−1,4),点A'(0,−5)代入y=ax+c,得{−a+c=4,c=−5,解得{a=−9,c=−5,
∴直线A'B的表达式为y=−9x−5.当y=0时,−9x−5=0,解得x=−$\frac{5}{9}$,
∴PA+PB最小时m的值为−$\frac{5}{9}$
(3)如图②,
∵△OAP的面积等于△OAB的面积的2倍,
∴$\frac{1}{2}$×5×|m|=2×$\frac{1}{2}$×1×5,
∴m=2或m=−2,即点P的横坐标为2 或−2.当x=2时,y=x+5=7,此时P(2,7);当x=−2时,y=x+5=3,此时P(−2,3).综上所述,n的值为7或3.

变式 1 已知直线 $ y = -x + 2 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $ 和点 $ B $,点 $ C $ 是 $ x $ 轴上一定点,其坐标为 $ C(1,0) $,一个动点 $ P $ 从原点出发沿 $ O - B - A - C - O $ 方向移动,连接 $ PC $。
(1) 当线段 $ PC $ 与线段 $ AB $ 平行时,求点 $ P $ 的坐标,并求此时 $ \triangle POC $ 的面积与 $ \triangle AOB $ 的面积的比值；
(2) 当 $ \triangle AOB $ 被线段 $ PC $ 分成的两部分面积相等时,求线段 $ PC $ 所在直线的表达式；
(3) 若 $ \triangle AOB $ 被线段 $ PC $ 分成的两部分面积比为 $ 1:5 $,求线段 $ PC $ 所在直线的表达式。

答案：
(1)当线段PC与线段AB平行时,可画出图形，如图②所示,设PC所在直线的表达式为y=−x+m,
∵C(1,0),
∴−1+m=0,解得m=1,
∴PC所在直线的表达式为y=−x+1,
∴P(0,1).此时,S△OPC=$\frac{1}{2}$·OP·OC=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$,
∴S△OPC:S△AOB=$\frac{1}{2}$:2=$\frac{1}{4}$故点P的坐标为(0,1),△POC的面积与△AOB的面积的比值为$\frac{1}{4}$.
(2)由题意可知,点C是线段OA的中点，当△AOB被线段PC分成的两部分面积相等时，点P与点B重合，此时P(0,2),设PC所在直线的表达式为y=kx+b,
∴{k+b=0,b=2,解得{k=−2,b=2,
∴线段PC所在直线的表达式为y=−2x+2.
(3)根据题意，需要分类讨论:当点P在线段AB上时,如图③所示,此时S△APC=$\frac{1}{6}$S△AOB=$\frac{1}{3}$,过点P作PD⊥x轴于点D,
∴S△APC=$\frac{1}{2}$·AC·PD=$\frac{1}{3}$,解得PD=$\frac{2}{3}$,
∴AD=PD=$\frac{2}{3}$,
∴OD=OA−AD=2−$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$,
∴P($\frac{4}{3}$,$\frac{2}{3}$),设线段PC所在直线的表达式为y=k₁x+b₁,
∴{k₁+b₁=0,$\frac{4}{3}$k₁+b₁=$\frac{2}{3}$,解得{k₁=2,b₁=−2,
∴线段PC所在直线的表达式为y=2x−2.当点P在线段OB上时,如图④所示,此时S△POC=$\frac{1}{6}$S△AOB=$\frac{1}{3}$,
∴S△POC=$\frac{1}{2}$PO·OC=$\frac{1}{3}$,解得OP=$\frac{2}{3}$,
∴P(0,$\frac{2}{3}$),设线段PC所在直线的表达式为y=k₂x+b₂,
∴{k₂+b₂=0,b₂=$\frac{2}{3}$,解得{k₂=−$\frac{2}{3}$,b₂=$\frac{2}{3}$,
∴线段PC所在直线的表达式为y=−$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$.综上可知,线段PC所在直线的表达式为y=2x−2或y=−$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$.