《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

1 若关于$x的方程x+\dfrac{2}{x}= c+\dfrac{2}{c}的解是x_{1}= c,x_{2}= \dfrac{2}{c}$,则关于$x的方程x+\dfrac{2}{x + 1}= a+\dfrac{2}{a + 1}的解x_{1},x_{2}$的值是(D)
A.$a,\dfrac{2}{a}$
B.$a + 1,\dfrac{2}{a + 1}$
C.$a,\dfrac{2}{a + 1}$
D.$a,\dfrac{1 - a}{a + 1}$

答案： D

2 若分式方程$\dfrac{1}{x - 2}+3= \dfrac{a - x}{a + x}$有增根,则$a$的值是0.

答案： 0

3 方程$\dfrac{4}{(x + 1)^{2}-4}-\dfrac{8}{(x + 1)^{2}-16}-\dfrac{2}{(x + 2)^{2}-1}+\dfrac{2}{(x - 2)^{2}-1}-\dfrac{6}{(x - 2)^{2}-9}= \dfrac{4}{5}的解为x= $____.

答案： $±\frac{5\sqrt{2}}{2}$

4 探索发现:$\dfrac{1}{1×2}= 1-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2×3}= \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3×4}= \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4},…$,根据你发现的规律,回答下列问题:
(1)$\dfrac{1}{4×5}=$$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$;$\dfrac{1}{n×(n + 1)}=$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
(2)利用你发现的规律计算:$\dfrac{1}{1×2}+\dfrac{1}{2×3}+\dfrac{1}{3×4}+…+\dfrac{1}{n×(n + 1)}$.
原式$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots +(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．
(3)灵活利用规律解方程:$\dfrac{1}{x(x + 2)}+\dfrac{1}{(x + 2)(x + 4)}+…+\dfrac{1}{(x + 98)(x + 100)}= \dfrac{1}{x + 100}$.
∵$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}=\frac{x+2}{x(x+2)}-\frac{x}{x(x+2)}=\frac{2}{x(x+2)}$．
∴$\frac{1}{x(x+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2})$．同理可得$\frac{1}{(x+2)(x+4)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4})$，…，$\frac{1}{(x+98)(x+100)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x+98}-\frac{1}{x+100})$，
∴原方程可化为 $\frac{1}{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2})+\frac{1}{2}(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4})+\dots +\frac{1}{2}(\frac{1}{x+98}-\frac{1}{x+100})=\frac{1}{x+100}$．
∵$(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2})+(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4})+\dots +(\frac{1}{x+98}-\frac{1}{x+100})=\frac{2}{x+100}$，
∴$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}=\frac{2}{x+100}$，
∴$\frac{1}{x}=\frac{3}{x+100}$，
∴$x+100=3x$，解得 $x=50$．经检验，$x=50$ 是方程的解，
∴方程的解为 $x=50$．

答案： （1）$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$ $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
（2）原式$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots +(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．
（3）
∵$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}=\frac{x+2}{x(x+2)}-\frac{x}{x(x+2)}=\frac{2}{x(x+2)}$．
∴$\frac{1}{x(x+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2})$．同理可得$\frac{1}{(x+2)(x+4)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4})$，…，$\frac{1}{(x+98)(x+100)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x+98}-\frac{1}{x+100})$，
∴原方程可化为 $\frac{1}{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2})+\frac{1}{2}(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4})+\dots +\frac{1}{2}(\frac{1}{x+98}-\frac{1}{x+100})=\frac{1}{x+100}$．
∵$(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2})+(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4})+\dots +(\frac{1}{x+98}-\frac{1}{x+100})=\frac{2}{x+100}$，
∴$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}=\frac{2}{x+100}$，
∴$\frac{1}{x}=\frac{3}{x+100}$，
∴$x+100=3x$，解得 $x=50$．经检验，$x=50$ 是方程的解，
∴方程的解为 $x=50$．

5 解下列分式方程:
(1)$\dfrac{5x - 96}{x - 19}+\dfrac{x - 8}{x - 9}= \dfrac{4x - 19}{x - 6}+\dfrac{2x - 21}{x - 8}$;
(2)$\dfrac{x}{1 - x}+\dfrac{x}{1 + x}+\dfrac{2x}{1 + x^{2}}+\dfrac{4x}{1 + x^{4}}= 0$.

答案： （1）原式可化为 $(5-\frac{1}{x-19})+(1+\frac{1}{x-9})=(4+\frac{5}{x-6})+(2-\frac{5}{x-8})$，即 $\frac{1}{x-9}-\frac{1}{x-19}=\frac{5}{x-6}-\frac{5}{x-8}$，
∴$\frac{-10}{(x-9)(x-19)}=\frac{-10}{(x-6)(x-8)}$，
∴$(x-6)(x-8)=(x-9)(x-19)$，即 $14x=123$，
∴$x=\frac{123}{14}$，经检验，$x=\frac{123}{14}$ 是原方程的解，故 $x=\frac{123}{14}$．
（2）
∵$\frac{x}{1-x}+\frac{x}{1+x}+\frac{2x}{1+x^2}+\frac{4x}{1+x^4}=0$，
∴$\frac{x(1+x)}{(1-x)(1+x)}+\frac{x(1-x)}{(1-x)(1+x)}+\frac{2x}{1+x^2}+\frac{4x}{1+x^4}=0$，
∴$\frac{2x}{1-x^2}+\frac{2x}{1+x^2}+\frac{4x}{1+x^4}=0$，
∴$\frac{2x(1+x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)}+\frac{2x(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)}+\frac{4x}{1+x^4}=0$，
∴$\frac{4x}{1-x^4}+\frac{4x}{1+x^4}=0$，
∴$\frac{4x(1+x^4)}{(1-x^4)(1+x^4)}+\frac{4x(1-x^4)}{(1-x^4)(1+x^4)}=0$，
∴$\frac{8x}{1-x^8}=0$．
∵$1-x^8≠0$，
∴$x=0$．经检验，$x=0$ 是原方程的根，故 $x=0$．

6 (重庆自主招生)从$-4,-3,1,3,4$这五个数中,选取一个数,记为$m$,若$m使得关于x,y的二元一次方程组\begin{cases}2x + y = 2,\\mx - 2y = - 3\end{cases} $有解,且使关于$x的分式方程\dfrac{1 - m}{x - 1}-1= \dfrac{2}{1 - x}$有正数解,那么这五个数中所有满足条件的$m$的值的和是(D)
A.1
B.2
C.-1
D.-2

答案： D

7 (“希望杯”邀请赛)如图,在一条平直公路的前方有一陡峭的山壁,一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去.
(1)若汽车的行驶速度是 30 米/秒,在距离山壁 925 米处汽车鸣笛一声,则经过多长时间后司机听到回声?
(2)某一时刻,汽车第一次鸣笛,经过 4.5 秒再次鸣笛.若司机听到两次鸣笛的回声的时间间隔是 4 秒,求汽车的行驶速度.(已知声音在空气中的传播速度是 340 米/秒)

答案： （1）设经过 t 秒后司机听到回声，则 $30t+340t=2×925$，解得 $t=5$．
（2）设汽车第一次鸣笛的时刻为 $t=0$，行驶的速度为 v 米/秒，两次鸣笛后分别经过 $t_1$，$t_2$ 秒后听到回声，在 0 时刻与山壁的距离为 s，则 $\left\{\begin{array}{l} vt_1+340t_1=2s,\\ vt_2+340t_2=2(s-4.5v),\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} t_1=\frac{2s}{v+340},\\ t_2=\frac{2s-9v}{v+340},\end{array}\right.$ 两次鸣笛的回声的时间间隔是 4 秒，故 $(t_2+4.5)-t_1=4$，代入得 $(\frac{2s-9v}{v+340}+4.5)-\frac{2s}{v+340}=4$，化简得 $\frac{9v}{v+340}=0.5$，解得 $v=20$．经检验，$v=20$ 是原方程的解．