《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

6. (★★★)综合与探究：
如图,直线 $ l_{1}:y = \frac{3}{4}x $ 与直线 $ l_{2}:y = -\frac{3}{4}x + 6 $ 交于点 $ A(4,m) $,直线 $ l_{2} $ 与 $ x $ 轴交于点 $ B(n,0) $,点 $ C $ 从点 $ O $ 出发沿 $ OB $ 向终点 $ B $ 运动,速度为每秒 $ 1 $ 个单位,同时点 $ D $ 从点 $ B $ 出发以同样的速度沿 $ BO $ 向终点 $ O $ 运动,作 $ CM \perp x $ 轴,交折线 $ OA - AB $ 于点 $ M $,作 $ DN \perp x $ 轴,交折线 $ BA - AO $ 于点 $ N $,设运动时间为 $ t $ 秒。
(1) 求点 $ A,B $ 的坐标。
(2) 在点 $ C $,点 $ D $ 运动过程中。
①当点 $ M,N $ 分别在 $ OA,AB $ 上时,求证：四边形 $ CMND $ 是矩形。
②当四边形 $ CMND $ 是正方形时,请你直接写出 $ t $ 的值。
(3) 点 $ P $ 是平面内一点,在点 $ C $ 的运动过程中,问是否存在以点 $ P,O,A,C $ 为顶点的四边形是菱形？若存在,请直接写出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)当x=4时,y=$\frac{3}{4}$x=3,
∴A(4,3),当y=0时,−$\frac{3}{4}$x+6=0,
∴x=8,
∴B(8,0),
∴点A,B的坐标分别为(4,3),(8,0),
(2)①
∵A(4,3),B(8,0),
∴OA=AB=5,
∴∠AOB=∠ABO.
∵MC⊥x轴,ND⊥x轴,
∴∠OCM=∠BDN=90°,MC//DN;由点C,D的运动可知,OC=BD=t,
∴△OMC≌△BND(ASA),
∴MC=DN,
∴四边形CMND是平行四边形.
∵∠MCD=90°,
∴平行四边形CMND是矩形.
②t的值为$\frac{32}{11}$或$\frac{56}{11}$.
(3)存在.点P的坐标为(9,3)或(4,−3)或($\frac{7}{8}$,3).

7. (★★)(景德镇自主招生)如图,直线 $ PA $ 是一次函数 $ y = x + n(n ＞ 0) $ 的图象,直线 $ PB $ 是一次函数 $ y = -2x + m(m ＞ n) $ 的图象。若 $ PA $ 与 $ y $ 轴交于点 $ Q $,且 $ S_{四边形PQOB} = \frac{5}{6} $,$ AB = 2 $,则 $ \frac{m + 2n}{2m + n} = $(C)

A.$ \frac{2}{3} $
B.$ \frac{3}{4} $
C.$ \frac{4}{5} $
D.$ \frac{5}{6} $

答案： C

8. (★★★)(无锡自主招生)在平面直角坐标系中,已知点 $ A(3,0) $,$ B(0,4) $,将 $ \triangle BOA $ 绕点 $ A $ 按顺时针方向旋转得 $ \triangle CDA $,连接 $ OD $。当 $ \angle DOA = \angle OBA $ 时,直线 $ CD $ 的表达式为y=−$\frac{7}{24}$x+4。

答案： y=−$\frac{7}{24}$x+4

9. (★★★)(全国初中数学竞赛)如图,已知直角梯形 $ OABC $ 的 $ A $ 点在 $ x $ 轴上,$ C $ 点在 $ y $ 轴上,$ OC = 6 $,$ OA = OB = 10 $,$ PQ // AB $ 交 $ AC $ 于 $ D $ 点,且 $ \angle ODQ = 90^{\circ} $,求 $ D $ 点的坐标。

答案： D点的坐标为($\frac{45}{7}$,$\frac{15}{7}$)

10. (★★★)(泉州自主招生)如图①,直线 $ y_{1} = 2x + 6 $ 分别交 $ x $ 轴、$ y $ 轴于 $ A,B $ 两点。
(1) 直接写出 $ A,B $ 两点的坐标。
(2) 如图②,已知直线 $ y_{2} = kx - 6k + 3 $,无论 $ k $ 取何值,它都经过第一象限内的一个定点 $ C $,分别连接 $ AC,BC $,其中 $ AC $ 交 $ y $ 轴于点 $ D $。
①求 $ \triangle ABD $ 的面积；
②连接 $ OC $,在直线 $ OC $ 上是否存在点 $ P $,使得 $ S_{\triangle PAB} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} $？若存在,请直接写出点 $ P $ 的坐标(不写求解过程)；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)A(−3,0),B(0,6).
(2)①
∵y₂=kx−6k+3=k(x−6)+3,
∴当x=6时,y=3,即直线y₂=kx−6k+3过定点C(6,3).如图①,设直线AC为y=kx+b,把A(−3,0),C(6,3)代入，得{−3k+b=0,6k+b=3,解得{k=$\frac{1}{3}$,b=1},
∴直线AC为y=$\frac{1}{3}$x+1,
∴点D的坐标为(0,1),
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$BD·OA=$\frac{15}{2}$.
②存在,点P的坐标为(−$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$)或(−$\frac{22}{3}$,$\frac{11}{3}$).