《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

9. 如图,在梯形$ABCD$中,$AB// CD$,$\angle BAD = 90^{\circ}$,$AB = 6$,对角线$AC平分\angle BAD$,点$E在AB$上,且$AE = 2$($AE ＜ AD$),$P是AC$上的动点,则$PE + PB$的最小值是$2\sqrt{10}$。

答案： $2\sqrt{10}$

10. 已知点$A(1,3)$,$B(5,-2)$,在$x轴上找一点P$,使 (1) $AP + BP$最小；(2) $|AP - BP|$最小；(3) $|AP - BP|$最大。

答案：

(1)如图①,连接AB,则直线AB交x轴于点P,设$P(x,0)$，过A,B两点的直线为$y=kx+b(k\neq0)$，则$\begin{cases}3 = k + b\\-2 = 5k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{5}{4}\\b = \frac{17}{4}\end{cases}$，故过A,B两点的一次函数的表达式为$y=-\frac{5}{4}x+\frac{17}{4}$，把点$P(x,0)$代入一次函数的表达式得$-\frac{5}{4}x+\frac{17}{4}=0$，解得$x=\frac{17}{5}$，故点P的坐标为$(\frac{17}{5},0)$。
　 　
(2)因为$|AP - BP|\geq0$，所以当$AP = BP$时，$|AP - BP|$最小，故点P在线段AB的垂直平分线上。如图②，作线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则点P即为所求，作点A关于x轴的对称点$A'$，连接$A'P$。设$P(x,0)$，则$PA' = PB$，即$\sqrt{(1 - x)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{(5 - x)^{2}+(-2)^{2}}$，解得$x=\frac{19}{8}$，故点P的坐标为$(\frac{19}{8},0)$。
(3)如图③，作点A关于x轴的对称点$A'$(也可以作B关于x轴的对称点$B'$，道理一样)，这样AP始终等于$A'P$，若点$A'$，P，B构成三角形，则$0＜|AP - BP|＜A'B$，其实右边可以取等号，也就是当P点为直线$A'B$与x轴的交点时取等号，这时$|AP - BP|$最大，等于$A'B$。设$P(x,0)$，过$A'$，B两点的直线为$y=kx+b(k\neq0)$，故$\begin{cases}-2 = 5k + b\\-3 = k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{4}\\b = -\frac{13}{4}\end{cases}$，故过$A'$，B两点的直线表达式为$y=\frac{1}{4}x-\frac{13}{4}$，把$P(x,0)$代入得，$\frac{1}{4}x-\frac{13}{4}=0$，解得$x = 13$，故点P坐标为$(13,0)$。
　　　　

11. (孝感自主招生)如图,在棱长为 1 的正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中,一只蚂蚁从点$A$出发,沿正方体表面爬行到面对角线$A_1B上的一点P$,再沿截面$A_1BCD_1爬行到点D_1$,则整个过程中蚂蚁爬行的最短路程为( )

A.2
B.$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$
C.$2+\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2+\sqrt{2}}$

答案：
D解析:如图,连接$AD_{1}$，则$AD_{1}$就是整个过程中蚂蚁爬行的最短路程，过点$D_{1}$作$D_{1}E\perp AA_{1}$交$AA_{1}$的延长线于点E，则$\angle EA_{1}D_{1}=180° - 90° - 45° = 45°=\angle ED_{1}A_{1}$，即$EA_{1}=D_{1}E$。设$EA_{1}=D_{1}E=x$，由勾股定理得$x^{2}+x^{2}=1^{2}$，$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$AE=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$，$ED_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。在$Rt\triangle EAD_{1}$中，由勾股定理得$AD_{1}=\sqrt{(1+\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$。故选D。
　　　 　　　

12. (襄阳自主招生)如图,有一条直角弯道河流,河宽为 2,$A$,$B$两地到河岸边的距离均为 1,$AH = BF = 1$,$AD = 7$,$BE = 9$,现欲在河道上架两座桥$MN$,$PQ$,使$AM + MN + NP + PQ + QB$最小,则最小值为(C)

A.$\sqrt{130}$
B.$\sqrt{145}+2$
C.14
D.12

答案： C　解析:如图,延长AH到点J,使得$AJ = MN = 2$，延长BF到点K,使得$BK = PQ = 2$，连接JK交河道于点$N'$，$P'$，得到两座桥$N'M'$，$P'Q'$，此时$AM'+M'N'+N'P'+P'Q'+BQ'$的值最小。延长AH交BK的延长线于点W；在$Rt\triangle JWK$中，$WK = 6$，$WJ = 8$，$\therefore JK=\sqrt{KW^{2}+WJ^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$，$\therefore AM'+M'N'+N'P'+P'Q'+BQ'=JN'+2+N'P'+2+P'K=4+JK = 14$，$\therefore AM+MN+NP+PQ+QB$的最小值为14。故选C。

13. (浙江自主招生)如图,五边形$ABCDE$中,$\angle BAE = 120^{\circ}$,$\angle B = \angle E = 90^{\circ}$,$AB = BC = 1$,$AE = DE = 2$,在$BC$,$DE上分别找一点M$,$N$,使$\triangle AMN$的周长最小,则$\triangle AMN$的周长最小值为( )

A.$2\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{7}$
C.$4\sqrt{2}$
D.5

答案：
B　解析:方法一:如图①,作点A关于BC和ED的对称点$A'$，$A''$，连接$A'A''$，交BC于点M，交ED于点N，则$A'A''$即为$\triangle AMN$的周长最小值。过点$A'$作EA延长线的垂线，垂足为H，以点A为原点建立平面直角坐标系，$\because \angle EAB = 120°$，$\therefore \angle A'AH = 60°$。$\because A'H\perp HA$，$\therefore \angle AA'H = 30°$。$\because AB = BC = 1$，$AE = DE = 2$，$\therefore AA' = 2BA = 2$，$AA'' = 2AE = 4$，$\therefore AH=\frac{1}{2}AA' = 1$，$\therefore A'H=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$，$\therefore A'(-1,-\sqrt{3})$，$A''(4,0)$。设直线$A'A''$的表达式为$y = kx + b$，则$\begin{cases}4k + b = 0\\-k + b = -\sqrt{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{\sqrt{3}}{5}\\b = -\frac{4\sqrt{3}}{5}\end{cases}$，故$y_{A'A''}=\frac{\sqrt{3}}{5}x-\frac{4\sqrt{3}}{5}$。设直线$AA'$的表达式为$y = ax$，则$-\sqrt{3}=-a$，解得$a = \sqrt{3}$，故直线$AA'$的表达式为$y = \sqrt{3}x$，可得BC所在直线表达式为$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + d$，同理可得$B(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$，则可得$d = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故直线BC的表达式为$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则$\begin{cases}y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\\y = \frac{\sqrt{3}}{5}x-\frac{4\sqrt{3}}{5}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -\frac{1}{4}\\y = -\frac{3\sqrt{3}}{4}\end{cases}$，即$M(-\frac{1}{4},-\frac{3\sqrt{3}}{4})$，故$MB=\sqrt{(-\frac{1}{2}+\frac{1}{4})^{2}+(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{4})^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}＜1$，$\therefore$点M一定在线段BC上。在$Rt\triangle A'H A''$中，$A'H=\sqrt{3}$，$A''H=1 + 4 = 5$，$\therefore A'A''=\sqrt{A'H^{2}+A''H^{2}}=2\sqrt{7}$。故选B。
　　　　　　　　　　　　　　　
方法二:如图②,过点A作关于BC，ED的对称点$A_{1}$，$A_{2}$，连接$A_{1}M$，$A_{2}N$，$A_{1}A_{2}$，$C_{\triangle AMN}=AM + MN + NA=A_{1}M + MN + A_{2}N\geq A_{1}A_{2}$，当$A_{1}$，$M$，$N$，$A_{2}$共线时，$(A_{1}M + MN + A_{2}N)_{最小}=A_{1}A_{2}$，即$C_{\triangle AMN}$最小，在$\triangle AA_{1}A_{2}$中，$A_{1}A = AB + A_{1}B = 2$，$AA_{2}=4$，作$A_{1}F\perp A_{2}A$，交$A_{2}A$延长线于点F，$\because \angle A_{1}AA_{2}=120°$，$\therefore \angle A_{1}AF = 60°$，$\therefore AF = 1$，$A_{1}F=\sqrt{3}$，而$A_{2}A = 4$，$\therefore A_{2}F = 5$，$\therefore A_{1}A_{2}=\sqrt{A_{2}F^{2}+A_{1}F^{2}}=\sqrt{5^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2\sqrt{7}$。故选B。

14. (浙江自主招生)如图,$ABCD - A'B'C'D'$为长方体,$AA' = 50cm$,$AB = 40cm$,$AD = 30cm$,把上、下底面都等分成$3×4$个小正方形,其边长均为$10cm$,得到点$E$,$F$,$G$,$H和E'$,$F'$,$G'$,$H'$,假设一只蚂蚁每秒爬行$2cm$,则它从下底面$E点沿表面爬行至上底面G'$点至少要花______秒。

答案：
$10\sqrt{17}$　解析:由图①有$EG'=\sqrt{20^{2}+80^{2}}=20\sqrt{17}$(cm)，由图②有$EG'=\sqrt{10^{2}+90^{2}}=10\sqrt{82}$(cm)，$10\sqrt{82}＞20\sqrt{17}$，故最短时间为$20\sqrt{17}÷2 = 10\sqrt{17}$(秒)。故答案为$10\sqrt{17}$。
　　　　　 　　　

15. (全国初中数学竞赛)如图,五羊大学建立分校,校本部与分校隔着两条平行的小河,$l_1// l_2$表示小河甲,$l_3// l_4$表示小河乙,$A$为校本部大门,$B$为分校大门,为方便人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸。图中的尺寸是：甲河宽 8 米,乙河宽 10 米,$A$到甲河垂直距离为 40 米,$B$到乙河垂直距离为 20 米,两河距离 100 米,$A$,$B$两点水平距离(与小河平行方向)120 米,为使$A$,$B$两点间来往路程最短,两座桥都按这个目标而建,那么,此时$A$,$B$两点间来往的路程是多少米？

答案：
如图,作$AA'\perp l_{1}$，且$AA' = 8$米，作$BB'\perp l_{4}$，且$BB' = 10$米，连接$A'B'$交$l_{2}$，$l_{3}$于点D，E，过点D作$DC\perp l_{1}$，垂足为C；过点E作$EF\perp l_{4}$，垂足为F，连接AC，BF。$\because AA' = CD = 8$米，$AA'\perp l_{1}$，$DC\perp l_{1}$，$\therefore AA' = CD$，$AA'// CD$，$\therefore$四边形$AA'DC$是平行四边形，$\therefore AC = A'D$。同理可得，$BF = B'E$，$\therefore AC + CD + DE + EF + BF=AA'+A'B'+BB'=8 + 10 + A'B'=18+\sqrt{120^{2}+(40 + 20 + 100)^{2}}=18 + 200 = 218$(米)。答:A，B两点间来往的路程是218米。