《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

变式 2 (武汉自主招生)(1)点 $ (0,2) $ 绕坐标原点顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到的点的坐标是(2,0)；
(2)已知直线 $ l_1:y = 2x - 4 $ 分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴相交于 $ A,B $ 两点,直线 $ l_1 $ 绕点 $ B $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到直线 $ l_2 $,则直线 $ l_2 $ 的表达式为y=-1/2x-4；
(3)若(2)中直线 $ l_1 $ 绕点 $ M(-1,0) $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到直线 $ l_3 $,则直线 $ l_3 $ 的表达式为y=-1/2x-7/2。

答案：
(1)(2,0)
(2)y=-1/2x-4 解析:当x=0时,y=2×0-4=-4,当y=0时,2x-4=0,解得x=2,
∴点A,B的坐标分别是(2,0),(0,-4).
∵直线l₁绕点B顺时针旋转90°,
∴点A的对应点是(4,-6).设直线l₂的表达式为y=kx+b,则{4k+b=-6,b=-4,}解得{k=-1/2,b=-4,}
∴直线l₂的表达式为y=-1/2x-4.
(3)y=-1/2x-7/2 解析:点A(2,0)绕点M(-1,0)顺时针旋转90°得到的对应点是(-1,-3),点B(0,-4)绕点M(-1,0)顺时针旋转90°得到的对应点是(-5,-1),设直线l₃的表达式为y=mx+n,则{-m+n=-3,-5m+n=-1,}解得{m=-1/2,n=-7/2,}
∴直线l₃的表达式是y=-1/2x-7/2.

例 3 与一次函数 $ y = 2x - 3 $ 的图象 $ l_1 $ 关于直线 $ y = -x $ 对称的图象 $ l_2 $ 的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}$。
点拨 先求出直线 $ y = 2x - 3 $ 与 $ x $ 轴和 $ y $ 轴的交点,再求出这两点关于 $ y = -x $ 的对称点,最后运用待定系数法求出函数表达式。

答案： y=1/2x-3/2 解析:直线y=2x-3与x轴、y轴的交点分别为A₁(3/2,0),B₁(0,-3),则点A₁,B₁关于直线y=-x对称的点为A₂(0,-3/2),B₂(3,0).设图象l₂的函数表达式为y=kx+m,则有{m=-3/2,3k+m=0,}解得{k=1/2,m=-3/2,}
∴过点A₂,B₂的直线为y=1/2x-3/2.故答案为y=1/2x-3/2.

变式 3 (南充自主招生)一次函数 $ y = kx - k(k ＞ 1) $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $,将此直线沿直线 $ y = x $ 翻折交 $ y $ 轴于点 $ B $,这两条直线相交于点 $ P $,且四边形 $ OAPB $ 的面积为 3,则 $ k = $3/2。

答案： 3/2 解析:由题意得y=k(x-1),当x=1时,y=0,
∴A(1,0).
∵直线y=kx-k沿直线y=x翻折交y轴于点B,
∴△PBO与△PAO关于直线y=x对称,
∴点P位于第一象限$,S_{△PBO}=S_{△PAO},$
∴$S_{△PAO}=1/2S_{四边形OAPB}=1/2×3=3/2.$
∵点P在直线y=x上,
∴设P(t,t)(t＞0),
∴1/2·1·t=3/2,解得t=3,
∴P(3,3),把P(3,3)代入y=kx-k得3k-k=3,
∴k=3/2.故答案为3/2.

例 4 定义：已知直线 $ l:y = kx + b(k \neq 0) $,则 $ k $ 叫直线 $ l $ 的斜率。
性质：直线 $ l_1:y = k_1x + b_1,l_2:y = k_2x + b_2 $(两直线斜率存在且均不为 0),若直线 $ l_1 \perp l_2 $,则 $ k_1k_2 = -1 $。
(1)应用：若直线 $ y = 2x + 1 $ 与 $ y = kx - 1 $ 互相垂直,求斜率 $ k $ 的值；
(2)探究：一直线过点 $ A(2,3) $,且与直线 $ y = -\frac{1}{3}x + 3 $ 互相垂直,求该直线的表达式。
点拨 (1)根据新定义得 $ 2 \cdot k = -1 $,然后解方程即可；(2)设该直线的表达式为 $ y = ax + b $,根据新定义得 $ -\frac{1}{3}a = -1 $,解得 $ a = 3 $,然后把 $ A(2,3) $ 代入 $ y = 3x + b $ 求出 $ b $ 即可。

答案：
(1)
∵直线y=2x+1与y=kx-1互相垂直,
∴2·k=-1,
∴k=-1/2.
(2)设该直线的表达式为y=ax+b,
∵直线y=ax+b与直线y=-1/3x+3互相垂直,
∴-1/3a=-1,解得a=3,把A(2,3)代入y=3x+b得6+b=3,解得b=-3,
∴该直线的表达式为y=3x-3.