《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例2 有一张正方形纸片ABCD,点E是边AB上一定点,在边AD上取点F,沿着EF折叠,点A落在点A'处,在边BC上取一点G,沿EG折叠,点B落在点B'处.
(1)如图,当点B'落在直线EA'上时,猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由.
(2)当∠A'EB' = $\frac{1}{4}$∠B'EB时,设∠A'EB' = x.
①试用含x的代数式表示∠FEG的度数.
②探究EB'是否可能平分∠FEG,若可能,求出此时∠FEG的度数；若不可能,请说明理由.
点拨 利用翻折变换的性质和角的计算进行求解.

答案：

(1)猜想:∠FEG=90°.理由:由折叠可知,∠AEF=∠A'EF,∠B'EG=∠GEB,
∴∠FEA'+∠B'EG=$\frac{1}{2}$(∠AEA'+∠BEB')=90°.
(2)①如图①,当点B'在∠A'EG内部时,∠B'EG=2x,
∴∠FEA'=$\frac{1}{2}$∠AEA'=90°−$\frac{5}{2}$x,
∴∠FEG=∠FEA'+∠A'EB'+∠B'EG=90°−$\frac{5}{2}$x+x+2x,
∴∠FEG=90°+$\frac{x}{2}$.如图②,当点B'在∠A'EF内部时,∠A'EB'=x,∠A'EB'=$\frac{1}{4}$∠B'EB,
∴∠B'EB=4x,
∴∠AEA'=180°−∠A'EB = 180°−(∠B'EB−∠A'EB') = 180°−3x,∠BEG=$\frac{1}{2}$∠BEB'=2x,
∴∠AEF=$\frac{1}{2}$∠AEA'=90° - $\frac{3}{2}$x,
∴∠FEG = 180° - ∠BEG - ∠AEF = 90° - $\frac{x}{2}$.综上所述,当点B'落在∠A'EG内部时,∠FEG=90°+$\frac{x}{2}$;当点B'落在∠A'EF内部时,∠FEG=90°−$\frac{x}{2}$.②EB'可能平分∠FEG.如图①,当点B'落在∠A'EG内部时,若EB'平分∠FEG,此时,∠B'EG = ∠FEB',∠FEB' = $\frac{180° - 5x}{2}$ + x,∠B'EG = 2x,即2x = $\frac{180° - 5x}{2}$ + x,解得x = ($\frac{180}{7}$)°,
∴∠FEG = ($\frac{720}{7}$)°.如图②,当点B'落在∠A'EF内部时,∠FEG = 90° - $\frac{x}{2}$,
∵ EB'平分∠FEG,
∴ ∠B'EG = $\frac{1}{2}$∠FEG,即2x = $\frac{1}{2}(90° - \frac{1}{2}x)$,解得x = 20°,
∴ ∠FEG = 90° - $\frac{1}{2}$x = 90° - $\frac{1}{2}$×20° = 80°.综上所述,当点B'落在∠A'EG内部时,∠FEG = ($\frac{720}{7}$)°;当点B'落在∠A'EF内部时,∠FEG = 80°.
　　　　　

例3 用轴对称解决最短路径问题：在平面直角坐标系中,矩形OABC如图所示. 点A在x轴正半轴上,点C在y轴正半轴上,且OA = 6,OC = 4,D为OC中点,点E,F在线段OA上,点E在点F左侧,EF = 3. 当四边形BDEF的周长最小时,点E的坐标是 ( )

A.$(\frac{1}{2},0)$
B.$(1,0)$
C.$(\frac{3}{2},0)$
D.$(2,0)$

答案：
B　解析:以D,E,F为顶点作平行四边形DEFD',作出点B关于x轴的对称点B',如图.
∵B(6,4),
∴B'的坐标为(6,−4).
∵DD' = EF = 3,D(0,2),
∴D'的坐标为(3,2).设直线D'B'的表达式为y=kx+b,把(6,−4),(3,2)代入y=kx+b,得$\begin{cases}6k + b = -4 \\ 3k + b = 2 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2 \\ b = 8 \end{cases}$，
∴直线D'B'的表达式为y = -2x + 8.令y = 0,得 -2x + 8 = 0,解得x = 4,
∴F(4,0),E(1,0).故选B.