《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例 1 已知：点 $ P $ 为 $ \angle EAF $ 的平分线上一点,$ PB \perp AE $ 于点 $ B $,$ PC \perp AF $ 于点 $ C $,点 $ M $,$ N $ 分别是射线 $ AE $,$ AF $ 上的点,且 $ PM = PN $。
(1) 当点 $ M $ 在线段 $ AB $ 上,点 $ N $ 在线段 $ AC $ 的延长线上时(如图①),求证：$ BM = CN $；
(2)2 在 (1) 的条件下,$ AM + AN = $______$ AC $；
(3) 当点 $ M $ 在线段 $ AB $ 的延长线上,点 $ N $ 在线段 $ AC $ 上时(如图②),若 $ AC : PC = 2 : 1 $,$ PC = 4 $,求四边形 $ ANPM $ 的面积。

答案：
(1)
∵点P为∠EAF平分线上一点,PB⊥AE,PC⊥AF,
∴PB=PC,∠PBM=∠PCN=90°.在Rt△PBM和Rt△PCN中,{PM=PN,PB=PC,
∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL),
∴BM=CN.
(2)2　解析:
∵∠APB=90°−∠PAB,∠APC=90°−∠PAC,
∴∠APC=∠APB.
∵PB⊥AE,PC⊥AF,
∴AB=AC,
∴AM+AN=AM+CN+AC=AM+BM+AC=AB+AC=2AC,故答案为2.
(3)
∵AC:PC=2:1,PC=4,
∴AC=8,
∴AB=AC=8,PB=PC=4,
∴S四边形ANPM=S△APN+S△APB+S△PBM=S△APN+S△APB+S△PCN=S△APC+S△APB=$\frac{1}{2}$AC·PC+$\frac{1}{2}$AB·PB=$\frac{1}{2}$×8×4+$\frac{1}{2}$×8×4=32.

变式 1 在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $ 是 $ BC $ 边上的点(不与点 $ B $,$ C $ 重合),连接 $ AD $。
(1) 如图①,当点 $ D $ 是 $ BC $ 边上的中点时,$ S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ACD} = $1:1；
(2) 如图②,当 $ AD $ 是 $ \angle BAC $ 的平分线时,若 $ AB = m $,$ AC = n $,求 $ S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ACD} $ 的值(用含 $ m $,$ n $ 的代数式表示)；
(3) 如图③,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,延长 $ AD $ 到点 $ E $,使得 $ AD = DE $,连接 $ BE $,如果 $ AC = 2 $,$ AB = 4 $,$ S_{\triangle BDE} = 6 $,那么 $ S_{\triangle ABC} = $9。

答案：
(1)1:1　解析:如图①,过点A作AE⊥BC于点E.
∵点D是BC边上的中点，
∴BD=DC,
∴S△ABD:S△ACD=($\frac{1}{2}$BD·AE):($\frac{1}{2}$CD·AE)=1:1,故答案为1:1.
(2)如图②,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
∵AD 为∠BAC的平分线，
∴DE=DF.
∵AB=m,AC=n,
∴S△ABD:S△ACD=($\frac{1}{2}$AB·DE):($\frac{1}{2}$AC·DF)=m:n.
(3)9　解析:
∵AD=DE,
∴由
(1)知S△ABD:S△EBD=1:1.
∵S△BDE=6,
∴S△ABD=6.
∵AC=2,AB=4,AD平分∠CAB,
∴由
(2)知S△ABD:S△ACD=AB:AC=4:2=2:1,
∴S△ACD=3,
∴S△ABC=3+6=9,故答案为9.