《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

变式 2 如图,一棵高 5 米的树 $AB$ 被强台风吹斜,与地面 $BC$ 形成 $60^{\circ}$ 夹角,之后又被超强台风在点 $D$ 处吹断,点 $A$ 恰好落在 $BC$ 边上的点 $E$ 处,若 $BE = 2$ 米,则 $BD$ 的长是( )

A.2 米
B.3 米
C.$\frac{21}{8}$ 米
D.$\frac{24}{7}$ 米

答案：
C　解析:如图,过点D作DF⊥BC于点F,
设BD=x米,则DE=(5−x)米.
在Rt△BDF中,∠DBF=60°,则BF=$\frac{1}{2}$x米,DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x米.
∴EF=(2 - $\frac{1}{2}$x)米.
　　　　　　　　　　　　　　　　
在Rt△DFE中,由勾股定理知DE²=DF²+EF²，即(5−x)²=($\frac{\sqrt{3}}{2}$x)²+(2 - $\frac{1}{2}$x)²，解得x=$\frac{21}{8}$，即BD的长是$\frac{21}{8}$米.故选C.

例 3 将一个矩形纸片 $OABC$ 放置在平面直角坐标系中,点 $O(0,0)$,点 $A(8,0)$,点 $C(0,6)$.$P$ 是边 $OC$ 上的一点(点 $P$ 不与点 $O$,$C$ 重合),沿着 $AP$ 折叠该纸片,得点 $O$ 的对应点 $O'$.
(1) 如图①,当点 $O'$ 落在边 $BC$ 上时,求点 $O'$ 的坐标；
(2) 若点 $O'$ 落在边 $BC$ 的上方,$O'P$,$O'A$ 分别与边 $BC$ 交于点 $D$,$E$,如图②,当 $CD = O'D$ 时,求点 $D$ 的坐标(直接写出结果即可).
点拨 (1) 由矩形的性质及已知点的坐标可得 $AB$,$OC$,$OA$,$CB$ 的长及 $\angle B$ 的度数,再由折叠的性质及勾股定理可得 $O'A$ 和 $BO'$ 的值,求得 $CO'$ 的值即点 $O'$ 的横坐标,其纵坐标为 $6$,则点 $O'$ 的坐标可得；(2) 连接 $AD$,设 $CD = x$,则 $BD = BC - CD = 8 - x$,$O'D = CD = x$,在 $Rt\triangle ADO'$ 和 $Rt\triangle ABD$ 中,分别由勾股定理得出 $AD^{2}$ 的值,从而得出关于 $x$ 的方程,解得 $x$ 的值,则问题可解.

答案：

(1)
∵点A(8,0),点C(0,6),四边形OABC为矩形,
∴AB=OC=6,OA=CB=8,∠B=90°.根据题意,由折叠可知△AOP≌△AO'P,
∴O'A=OA=8.在Rt△AO'B中,BO'=$\sqrt{O'A²−AB²}$=2$\sqrt{7}$,
∴CO'=BC−BO'=8−2$\sqrt{7}$,
∴点O'的坐标为(8−2$\sqrt{7}$,6).
(2)点D的坐标为($\frac{9}{4}$,6).　解析:如图,连接AD,设CD=x,则BD=BC−CD=8−x,O'D=CD=x.根据折叠可知AO'=AO=8,∠PO'A=∠POA=90°.在Rt△AD0'中,AD²=AO'²+D0'²=8²+x²=x²+64.在Rt△ABD 中,AD²=BD²+AB²=(8−x)²+6²=x²−16x+100.
∴x²+64=x²−16x+100,解得x=$\frac{9}{4}$
∴CD=$\frac{9}{4}$,
∴点D的坐标为($\frac{9}{4}$,6).