《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

类型 三角形的中位线
例 如图,$\angle ACB= \angle ECD = 90^{\circ}$,$AC = BC$,$CD = CE$,$P$,$M$,$N分别为AB$,$AD$,$BE$的中点,试探究$PM与PN$之间的关系。
点拨 连接$AE$,$BD$,证明$\triangle ACE\cong\triangle BCD$,根据全等三角形的性质、三角形中位线的性质和三角形内角和定理即可求解。

答案：
如图,连接 AE,BD,
在△ACE 与△BCD 中,{AC=BC,
∠ACB=∠BCD,
CE=CD,

∴ △ACE≌△BCD (SAS),
∴ AE = BD,
∠EAC = ∠DBC.
∵ 点 P, M, N 分别为 AB,AD,BE 的中点,
∴ PM = $\frac{1}{2}$BD,
PN=$\frac{1}{2}$AE,
∴ PM = PN.
∵ ∠BDC+∠DBC = 90°,
∴ ∠BDC +∠EAC=90°.
∵ PM//BD,
∴ ∠PMA=∠BDC,
∴ ∠PMA+∠EAC=90°,
∴ AE⊥PM,
∴ PM⊥PN.综上所述,PM 与 PN 之间的关系是PM=PN 且 PM⊥PN.

变式 1 如图,在$\triangle ABC$中,$D是\triangle ABC$内的一点,延长$BA至点E$,延长$DC至点F$,使得$AE = CF$,$G$,$H$,$M分别为BD$,$AC$,$EF$的中点,如果$G$,$H$,$M$三点共线,求证：$AB = CD$。

答案：
如图,取 BC 的中点 T,AF 的中点 S,连接 GT,HT,HS,SM.
∵ G,H,M 分别为 BD,AC,EF 的中点,
∴ MS//AE,MS = $\frac{1}{2}$AE,HS//CF,HS = $\frac{1}{2}$CF,GT//CD,HT//AB,GT=$\frac{1}{2}$CD,HT=$\frac{1}{2}$AB,

∴ GT//HS,HT//SM,
∴ ∠SHM=∠TGH,∠SMH=∠THG.
∵ AE=CF,
∴ MS=HS,
∴ ∠SHM=∠SMH,
∴ ∠TGH=∠THG,
∴ GT=TH,
∴ AB=CD.

变式 2 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$BA = BC$,$\triangle BEF$为等腰直角三角形,$\angle BEF = 90^{\circ}$,$M为AF$的中点,求证：$ME= \frac{1}{2}CF$。

答案：
如图,延长 FE 到点 D,使 DE=EF,连接 AD,BD.
∵ △BEF 为等腰直角三角形,∠BEF=90°,
∴ ∠BFE=45°,BE⊥DF,
∴ BE 垂直平分 DF,
∴ ∠BDE=45°,
∴ △BDF 是等腰直角三角形,
∴ BD=BF,∠DBF=90°.
∵ ∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°,∠ABD+∠ABF=∠DBF=90°,
∴ ∠CBF=∠ABD.在△ABD 和△CBF 中,{AB=BC,
∠CBF=∠ABD,
BD=BF,

∴ △ABD≌△CBF (SAS),
∴ AD=CF.
∵ M 为 AF 的中点,DE=EF,
∴ ME 是△ADF 的中位线,
∴ ME=$\frac{1}{2}$AD,
∴ ME=$\frac{1}{2}$CF.