《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

4. (云南中考)已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点,∠ABC的平分线与线段AC交于点D. 若△ABC的一条边长为6,则点D到直线AB的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$或3或$6\sqrt{2}-6$或$6-3\sqrt{2}$.

答案： $\frac{3\sqrt{2}}{2}$或3或6√2−6或6−3√2

5. (呼伦贝尔中考$\frac{3^{3999}}{2^{1000}}$)如图,点B_1在直线l：y= 1/2x上,点B_1的横坐标为1,过点B_1作B_1A_1⊥x轴,垂足为A_1,以A_1B_1为边向右作正方形A_1B_1C_1A_2,延长A_2C_1交直线l于点B_2；以A_2B_2为边向右作正方形A_2B_2C_2A_3,延长A_3C_2交直线l于点B_3……按照这个规律进行下去,点$B_{1000}$的坐标为______.

答案： ($\frac{3^{3999}}{2^{1000}}$)

6. (张家界中考)如图,在正方形ABCD外取一点E,连接DE,AE,CE,过点D作DE的垂线交AE于点P,连接CP,若DE= DP= 1,PC= √6. 下列结论：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距离为√3；$④S_{正方形ABCD}= 5+2√2. $其中正确结论的序号为①②④.

答案： ①②④

7. 如图,直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D,AM⊥MN于点M,CN⊥MN于点N,BR⊥MN于点R.
(1) 求证：△ADM≌△DCN；
(2) 求证：MN= AM+CN；
(3) 试猜想BR与MN的数量关系,并证明你的猜想.

答案：

(1)
∵AM⊥MN于点M,CN⊥MN于点N,
∴∠AMD=∠DNC=90°,
∴∠MAD+∠MDA=180°−90°=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°,AD=DC,
∴∠MDA+∠NDC=180°−90°=90°,
∴∠MAD+∠MDA=∠NDC+∠MDA,
∴∠MAD=∠NDC.在△AMD和△DNC中,
∵∠AMD=∠DNC，∠MAD=∠NDC，AD=DC，
∴△ADM≌△DCN(AAS).
(2)由
(1)知△ADM≌△DCN,
∴AM=DN,MD=NC,
∴MD+DN=AM+CN,即MN=AM+CN.
(3)BR=MN;证明:如图,作AE⊥BR于点E.
∵BR⊥MN,CN⊥MN,
∴BR//CN,
∴∠1=∠2.又四边形ABCD是正方形,
∴AB⊥BC,DC⊥BC,
∴∠ABE=∠DCN=90°−∠1.在△ABE和△DCN中,AB=DC，∠ABE=∠DCN，∠AEB=∠DNC=90°,
∴△ABE≌△DCN(AAS).由
(1)知△ADM≌△DCN,
∴△ABE≌△ADM,
∴AM=AE.又AE//MR,AM//ER,
∴BR=BE+ER=CN+AM=DM+DN=MN.

8. (达州中考)在△ABC中,∠BAC= 90°,AB= AC,D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1) 观察猜想
如图①,当点D在线段BC上时.
①BC与CF的位置关系为______；
②BC,CD,CF之间的数量关系为______.(将结论直接写在横线上)
(2) 数学思考
如图②,当点D在线段CB的延长线上时,(1)中①,②的结论是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3) 拓展延伸
如图③,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE,若已知AB= 2√2,CD= 1/4BC,请求出GE的长.

答案：

(1)①CF⊥BC　　解析:在正方形ADEF中,AD=AF.
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF.在△DAB与△FAC中,AD=AF，∠BAD=∠CAF，AB=AC，
∴△DAB≌△FAC(SAS),
∴∠ABD=∠ACF,
∴∠ACB+∠ACF=90°,即CF⊥BC.
②BC=CF+CD　解析:
∵△DAB≌△FAC,
∴CF=BD.
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD.
(2)①成立,②不成立.正确的结论为BC=CD−CF.证明:
∵在正方形ADEF中,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF.在△DAB与△FAC中,AD=AF，∠BAD=∠CAF，AB=AC，
∴△DAB≌△FAC(SAS),
∴∠ABD=∠ACF,CF=BD,
∴∠ACF−∠ACB=90°,即CF⊥BC.
∵BC=CD−BD,
∴BC=CD−CF.
(3)如图,过点A作AH⊥BC于点H,过点E作EM⊥BD于点M,EN⊥CF于点N.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴BC=$\sqrt{2}$AB=4,AH=$\frac{1}{2}$BC=2,
∴CD=$\frac{1}{4}$BC=1,CH=$\frac{1}{2}$BC=2,
∴DH=3.由
(2)得BC⊥CF,CF=BD=5.
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=DE,∠ADE=90°.
∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,
∴四边形CMEN是矩形,
∴NE=CM,EM=CN.
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°,
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,
∴∠ADH=∠DEM.在△ADH与△DEM中,∠AHD=∠DME，∠ADH=∠DEM，AD=DE，
∴△ADH≌△DEM(AAS),
∴EM=DH=3，DM=AH=2,
∴CN=EM=3,EN=CM=3.
∵∠ABC=45°,
∴∠BGC=45°,
∴△BCG是等腰直角三角形,
∴CG=BC=4,
∴GN=1,
∴EG=$\sqrt{GN²+EN²}$=$\sqrt{10}$.