《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例 1 (武汉自主招生)先化简,再求值：$(\frac{x - 1}{x^2 - 4x + 4} - \frac{x + 2}{x^2 - 2x}) ÷ (\frac{4}{x} - 1)$,其中 $x$ 是不等式$\frac{2x - 5}{3} \leq x - 3$的最小整数解。
点拨 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出不等式的取值范围,找出符合条件的 $x$ 的值代入进行计算即可。

答案： 原式=[(x-1)/((x-2)²)-(x+2)/(x(x-2))]÷(4/x -x)=[(x²-x)/(x(x-2)²)-(x²-4)/(x(x-2)²)]÷(4-x)/x=(4-x)/(x(x-2)²)·x/(4-x)=1/((x-2)²).解不等式(2x-5)/3≤x-3,得x≥4,则不等式的最小整数解为x=4,当x=4时,原式=1/((4-2)²)=1/2²=1/4.

变式 1 先化简,再求值：$(\frac{8}{a + 3} + a - 3) ÷ \frac{a^2 + 2a + 1}{a + 3} - \frac{a}{a + 1}$,其中 $a$ 为不等式组$\begin{cases}a - 1 \leq - 2, \\ - 2 ＜ \frac{a}{2} - \frac{1}{4}\end{cases} $的整数解。

答案： 原式=(8+(a-3)(a+3))/(a+3)·(a+3)/((a+1)²)-a/(a+1)=((a+1)(a-1))/(a+3)·(a+3)/((a+1)²)-a/(a+1)=(a-1)/(a+1)-a/(a+1)=-1/(a+1).解{(a-1≤-2,-2＜a/2 -1/4,得-3.5＜a≤-1,
∴不等式组的整数解为a=-1,-2,-3,当a=-1时,分式无意义;当a=-2时,原式=1;当a=-3时,分式无意义,故原式的值为1.

例 2 (福建中考)已知$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$,且 $a \neq - b$,则$\frac{ab - a}{a + b}$的值为1。
点拨 将分式$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$整理为 $b + a = ab - a$,然后整体代换即可。

答案： 1 解析:
∵1/a +2/b=1,
∴(b+2a)/ab=1,
∴b+2a=ab,即ab-a=b+a,(ab-a)/(a+b)=(a+b)/(a+b)=1.

变式 2 (重庆自主招生)已知 $a - \frac{1}{a} = 1$,则$[\frac{a(2a - 5)}{a - 2} - a - 2] ÷ \frac{a^2 - 16}{a^2 - 4a + 4} - \frac{11}{a + 4}$的值为-2。

答案： -2 解析:[(a(2a-5))/(a-2)-a-2]÷(a²-16)/(a²-4a+4)-11/(a+4)=[2a²-5a)/(a-2)-(a+2)]·((a-2)²)/((a+4)(a-4))-11/(a+4)=(2a²-5a-(a²-4))/(a-2)·((a-2)²)/((a+4)(a-4))-11/(a+4)=(a²-5a+4)/(a-2)·((a-2)²)/((a+4)(a-4))-11/(a+4)=((a-1)(a-4))/(a-2)·((a-2)²)/((a+4)(a-4))-11/(a+4)=(a²-3a+2-11)/(a+4)=(a²-3a-9)/(a+4).
∵a-1/a=1,
∴a²-1=a,当a²-1=a时,原式=(a²-1-3a-8)/(a+4)=(a-3a-8)/(a+4)=(-2a-8)/(a+4)=(-2(a+4))/(a+4)=-2.