《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

变式 3 如图,在锐角 $\triangle ABC$ 中,$AD\perp BC$ 于点 $D$,点 $E$ 在 $AD$ 上,$DE = DC$,$BD = AD$,点 $F$ 为 $BC$ 的中点,连接 $EF$ 并延长至点 $M$,使 $FM = EF$,连接 $CM$。
(1)求证：$BE = AC$；
(2)试判断线段 $AC$ 与线段 $MC$ 的关系,并证明你的结论。

答案：
(1)
∵AD⊥BC,
∴∠BDE=∠ADC=90°.在△BDE和△ADC中,{DE=DC,∠BDE=∠ADC,BD=AD,}
∴△BDE≌△ADC(SAS),
∴BE=AC.
(2)AC⊥MC且AC=MC.证明如下:
∵F为BC中点,
∴BF=CF.在△BFE和△CFM中,{BF=CF,∠BFE=∠CFM,EF=MF,}
∴△BFE≌△CFM(SAS),
∴∠CBE=∠BCM,BE=MC.由
(1)得∠CBE=∠CAD,BE=AC,
∴∠CAD=∠BCM,AC=MC.
∵∠CAD+∠ACD=∠BCM+∠ACD=∠ACM=90°,
∴AC⊥MC.
∴AC⊥MC且AC=MC.

例 4 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AD\perp BC$ 于点 $D$,过点 $A$ 作 $AF// BC$ 且 $AF = AD$,点 $E$ 是 $AC$ 上一点且 $AE = AB$,连接 $EF$,$DE$。连接 $FD$ 交 $BE$ 于点 $G$。下列结论中正确的有(D)
①$\angle FAE= \angle DAB$；②$BD = EF$；③$FD$ 平分 $\angle AFE$；④$S_{四边形ABDE}= S_{四边形ADEF}$；⑤$BG = GE$。

A.$2$ 个
B.$3$ 个
C.$4$ 个
D.$5$ 个

答案： D

变式 4 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$BD$,$CE$ 分别是 $\angle ABC$ 和 $\angle ACB$ 的平分线,$AM\perp CE$ 于 $P$,交 $BC$ 于点 $M$,$AN\perp BD$ 于 $Q$,交 $BC$ 于点 $N$,$\angle BAC = 110^{\circ}$,$AB = 6$,$AC = 5$,$MN = 2$。下列结论：①$AP = MP$；②$BC = 9$；③$\angle MAN = 30^{\circ}$；④$AM = AN$。其中正确的有(C)

A.$4$ 个
B.$3$ 个
C.$2$ 个
D.$1$ 个

答案： C