《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

变式 2 使分式 $\frac{-x - |x|}{x^2 + x}$ 的值为零的 $x$ 的一个值是(D)
A.$0$
B.$1$
C.$-1$
D.$-2$

答案： D 解析:由分式的值为零的条件得 x²+x≠0,-x-|x|=0,由 x²+x≠0,得 x(x+1)≠0,
∴x≠0 或 x≠-1.由 -x-|x|=0,得|x|=-x,
∴x≤0,综上,x＜0 且 x≠-1.故选 D.

例 3 如果整数 $x$ 满足 $(|x| - 1)^{x^2 - 9}= 1$,那么 $x$ 可能的值为±2 或±3。
点拨 要使结果为 $1$,可分为三种情况：①当指数是 $0$ 时；②当底数为 $1$ 时；③当底数为 $-1$ 时。分别进行讨论。

答案： ±2 或±3 解析:根据非零数的零指数幂等于 1 可得|x|-1=0,x²-9=0,解得 x=±3.由 1 的任何次幂等于 1 可得|x|-1=1,解得 x=±2.由 -1 的偶次幂等于 1 可得|x|-1=-1,解得 x=0,此时 x²-9=-9,不符合题意.因此 x 可能的值为±2 或±3.

变式 3 $|x - 3|^{\frac{x^2 - 3x}{x - 2}} = 1$ 的解有2个。

答案： 2 解析:当 x-3=1,即 x=4 时,方程成立;当 x-3=-1,即 x=2 时,指数中分母为 0,不合题意;当(x²-3x)/(x-2)=0,x-3≠0 时,整理得 x(x-3)=0,x≠2,x≠3,解得 x=0,经检验 x=0 是分式方程的解.综上,方程的解为 x=4 或 x=0,共 2 个.

例 4 计算：(1) $\frac{x}{x + 2y}\cdot\frac{x}{x - 2y}-\frac{2y}{x + 2y}÷\frac{x - 2y}{2y}$；(2) $[\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2}+\frac{2}{ab}÷(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2]\cdot\frac{2}{a^2 - b^2 + 2ab}$。
点拨 分子、分母能因式分解的要先因式分解,先算小括号里的,再算中括号里的,最后算括号外的。

答案：
(1)x/(x+2y)·x/(x-2y)-2y/(x+2y)÷(x-2y)/(2y)=x/(x+2y)·x/(x-2y)-2y/(x+2y)·2y/(x-2y)=(x²-4y²)/[(x+2y)(x-2y)]=1.
(2)原式=[(a²-b²)/(a+b)²+2/(ab)·a²b²/(a+b)²]·2/(a²-b²+2ab)=[(a²-b²)/(a+b)²+2ab/(a+b)²]·2/(a²-b²+2ab)=2/(a+b)².

变式 4 计算：(1) $(\frac{4a - 5}{a - 1}-a - 1)÷(\frac{1}{a - 1}-\frac{2}{a^2 - a})$；(2) $3m - 2n+\frac{(3m - 2n)^3}{3m - 2n + 1}-(3m - 2n)^2+\frac{2n - 3m}{3m - 2n - 1}$。

答案：
(1)(4a-5)/(a-1)-a-1÷(1/(a-1)-2/(a²-a))=(4a-5-(a+1)(a-1))/(a-1)÷(a-2)/(a(a-1))=(-(a-2)²)/(a-1)·a(a-1)/(a-2)=-a²+2a.
(2)设 3m-2n=x,则原式=x+x³/(x+1)-x²-x/(x-1)=[x(x²-1)+x³(x-1)-x²(x²-1)-x(x+1)]/[(x+1)(x-1)]=(-2x)/[(x+1)(x-1)],
∴原式=-2(3m-2n)/[(3m-2n+1)(3m-2n-1)].