《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例4 费马点问题：如图①,点$M为锐角三角形ABC$内任意一点,连接$AM$,$BM$,$CM$。以$AB为一边向外作等边三角形ABE$,将$BM绕点B逆时针旋转60^{\circ}得到BN$,连接$EN$。
(1)求证：$\triangle AMB\cong\triangle ENB$；
(2)若$AM + BM + CM$的值最小,则称点$M为\triangle ABC$的费马点。若点$M为\triangle ABC$的费马点,试求此时$\angle AMB$,$\angle BMC$,$\angle CMA$的度数；
(3)小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②,分别以$\triangle ABC的AB$,$AC为一边向外作等边三角形ABE和等边三角形ACF$,连接$CE$,$BF$,设交点为$M$,则点$M即为\triangle ABC$的费马点。试说明这种作法的依据。
点拨 (1)结合等边三角形的性质,根据$SAS可证\triangle AMB\cong\triangle ENB$；(2)连接$MN$,由(1)的结论证明$\triangle BMN$为等边三角形,当$E$,$N$,$M$,$C$四点共线时,$AM + BM + CM$的值最小,从而可求此时$\angle AMB$,$\angle BMC$,$\angle CMA$的度数；(3)根据(2)中费马点的定义,又$\triangle ABC的费马点在线段EC$上,同理也在线段$BF$上,因此线段$EC与BF的交点即为\triangle ABC$的费马点。

答案：
(1)
∵△ABE为等边三角形,
∴AB=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,
∴∠ABM=∠EBN.在△AMB和△ENB中,AB=EB,
∵{∠ABM=∠EBN,
∴△AMB≌△ENB(SAS). BM=BN,　
(2)如图,连接MN.由
(1)知,AM=EN.
∵∠MBN=60°,BM=BN,
∴△BMN为等边三角形,
∴BM=MN,
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM,
∴当E,N,M,C四点共线时,AM+BM+CM的值最小.此时,∠BMC=180°−∠NMB=120°,∠AMB=∠ENB=180°−∠BNM=120°,∠CMA=360°−∠BMC−∠AMB=120°.　
(3)由
(2)知,△ABC的费马点在线段EC上,同理也在线段BF上.因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费马点.