《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

5. (重庆自主招生) 小明与小华两人均从学校匀速步行到文星书店买书,已知学校和文星书店在同一条笔直大街上.小华比小明晚出发 1 分钟,但是比小明早到半分钟.已知小明、小华各自离学校的距离 $ y $ (米) 与小明离开学校的时间 $ x $ (分钟) 的关系如图所示,其中点 $ A $ 坐标为 $ (4,320) $,则以下说法正确的是 (D)

A.学校与书店相距 300 米
B.小华的速度是每分钟 $ \frac{640}{7} $ 米
C.小华到达书店时,小华与小明相距 50 米
D.小华出发 $ \frac{5}{3} $ 分钟追上小明

答案： D

6. (全国初中数学竞赛) 如图,两射线表示某电信公司提供两种方案的移动通讯费用 $ y $ (元) 与通话时间 $ x $ (分钟) 之间的关系,当通话时间为 100 分钟时,两种方案通讯费用相差 20 元；当通话时间为 180 分钟时,两种方案通讯费用一样；当两种方案通讯费用相差 40 元时,通话时间为20或340分钟.

答案： 20或340

7. (全国初中数学竞赛) 问题背景：
$ A $,$ B $ 两家超市都有某种品牌的乒乓球拍和乒乓球出售,且每副球拍的标价都为 50 元,每个乒乓球的标价都为 2 元.现两家超市正在促销,$ A $ 超市所有商品均打九折销售,而 $ B $ 超市买一副乒乓球拍送 4 个乒乓球.若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用.
(1) 如果只在某一家超市购买一副乒乓球拍和 10 个乒乓球,问去 $ A $ 超市还是 $ B $ 超市买更合算？
迁移运用：
(2) 某乒乓球训练馆准备购买 $ n $ 副该种品牌的乒乓球拍,每副球拍配 $ k(k≥4) $ 个乒乓球.如果只在某一家超市购买,问去 $ A $ 超市还是 $ B $ 超市买更合算？
拓展延伸：
(3) 若乒乓球训练馆准备购买 $ n $ 副该种品牌的乒乓球拍,每副球拍配 20 个乒乓球.请通过计算设计出最省钱的购买方案.

答案：
(1)单独在A超市购买费用为(50+10×2)×0.9=63(元);单独在B超市购买费用为50+(10-4)×2=62(元).因此去B超市买更合算.
(2)单独在A超市购买费用为(50n+2nk)×0.9元;单独在B超市购买费用为[50n+2n(k-4)]元.当(50n+2nk)×0.9＞50n+2n(k-4),即k＜15时,去B超市买更合算;当(50n+2nk)×0.9=50n+2n(k-4),即k=15时,去两家超市买费用一样;当(50n+2nk)×0.9＜50n+2n(k-4),即k＞15时,去A超市买更合算.
(3)方案一:单独在A超市购买费用为(50n+40n)×0.9=81n元;方案二:单独在B超市购买费用为50n+2n(20-4)=82n元;方案三:设先在B超市买x副球拍后,再到A超市买余下的球拍和球,设总费用为W元,则W=50x+[50(n-x)+2(20n-4x)]×0.9=-2.2x+81n.因为n-x≥0且20n-4x≥0,所以x≤n.因为n为常数,W随x的增大而减小,所以当x=n时,W=-2.2x+81n有最小值78.8n.因为78.8n＜81n＜82n,所以先在B超市买n副球拍后,再到A超市买余下的球,总费用最小,最小费用为78.8n元.