《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例3 在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D$,$A$,$E三点都在直线m$上,且$DE = 9\mathrm{cm}$,$\angle BDA = \angle AEC = \angle BAC$。
(1) 如图①,若$AB\perp AC$,则$BD与AE$的数量关系为BD=AE,$CE与AD$的数量关系为CE=AD。
(2) 如图②,判断并说明线段$BD$,$CE与DE$的数量关系。
(3) 如图③,若只保持$\angle BDA = \angle AEC$,$BD = EF = 7\mathrm{cm}$,点$A在线段DE上以2\mathrm{cm/s}的速度由点D向点E$运动；同时,点$C在线段EF上以x\mathrm{cm/s}的速度由点E向点F$运动,它们运动的时间为$t(\mathrm{s})$。是否存在$x$,使得$\triangle ABD与\triangle EAC$全等？若存在,求出相应的$t$的值；若不存在,请说明理由。
点拨 证明$\triangle ABD\cong\triangle CAE$即可解决第(1)(2)问；第(3)问分$\triangle DAB\cong\triangle ECA$,$\triangle DAB\cong\triangle EAC$两种情形,分别根据全等三角形的性质可解决问题。

(2)DE=BD+CE.由(1)同理可得△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,CE=AD,∴DE=AE+AD=BD+CE.
(3)存在,当△DAB≌△ECA时,BD=AE=7cm,AD=CE=2cm,∴t=1,此时x=2.当△DAB≌△EAC时,AD=AE=4.5cm,DB=EC=7cm,∴t=$\frac{AD}{2}$=$\frac{9}{4}$,x=7÷$\frac{9}{4}$=$\frac{28}{9}$.综上,t=1,x=2或t=$\frac{9}{4}$,x=$\frac{28}{9}$.

答案：
(1)BD=AE CE=AD 解析:
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC,
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD,
∴∠ABD=∠CAE.
∵∠BDA=∠AEC,BA=AC,
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,CE=AD.故答案为BD=AE,CE=AD.
(2)DE=BD+CE.由
(1)同理可得△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,CE=AD,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(3)存在,当△DAB≌△ECA时,BD=AE=7cm,AD=CE=2cm,
∴t=1,此时x=2.当△DAB≌△EAC时,AD=AE=4.5cm,DB=EC=7cm,
∴t=$\frac{AD}{2}$=$\frac{9}{4}$,x=7÷$\frac{9}{4}$=$\frac{28}{9}$.综上,t=1,x=2或t=$\frac{9}{4}$,x=$\frac{28}{9}$.

变式3 $CD是经过\angle BCA顶点C$的一条直线,$CA = CB$,$E$,$F分别是直线CD$上两点,且$\angle BEC = \angle CFA = \angle\beta$。
(1) 直线$CD经过\angle BCA$内部,且$E$,$F在射线CD$上。
①若$\angle BCA = 90^{\circ}$,$\angle\beta = 90^{\circ}$,如图①,则$BE$______$CF$,$EF$______$\vert BE - AF\vert$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)。
②若$0^{\circ} ＜ \angle BCA ＜ 180^{\circ}$,且$\angle\beta + \angle BCA = 180^{\circ}$,如图②,①中的两个结论还成立吗？并说明理由。
(2) 如图③,若直线$CD经过\angle BCA$外部,且$\angle\beta = \angle BCA$,请直接写出线段$EF$,$BE$,$AF$的数量关系(不需要证明)。

答案：

(1)①= = 解析:如图①,点E在点F的左侧,
∵∠β=90°,∠ACB=90°,
∴∠BEC=∠AFC=90°,
∴∠BCE+∠ACF=∠CBE+∠BCE=90°,
∴∠CBE=∠ACF.在△BCE和△CAF中,∠EBC=∠FCA,∠BEC=∠CFA,BC=CA,
∴△BCE≌△CAF(AAS),
∴BE=CF,CE=AF,
∴EF=CF-CE=BE-AF.当点E在点F的右侧时,同理可证BE=CF,CE=AF,
∴EF=AF-BE,
∴EF=|BE-AF|.故答案为=;=.

②①中两个结论仍然成立.理由:如图②,当点E在点F左侧时,
∵∠BEC=∠CFA=∠β,∠β+∠ACB=180°,
∴∠CBE=∠ACF.在△BCE和△CAF中,∠EBC=∠FCA,∠BEC=∠CFA,BC=CA,
∴△BCE≌△CAF(AAS),
∴BE=CF,CE=AF,
∴EF=CF-CE=BE-AF.当点E在点F的右侧时,如图③,同理可证BE=CF,CE=AF,
∴EF=AF-BE,
∴EF=|BE-AF|.

(2)EF=BE+AF. 解析:如图④,
∵∠BEC=∠CFA=∠β,∠β=∠BCA,又
∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°,∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°,
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF,
∴∠EBC=∠ACF.在△BEC和△CFA中,∠EBC=∠FCA,∠BEC=∠CFA,BC=CA,
∴△BEC≌△CFA(AAS),
∴AF=CE,BE=CF.
∵EF=CE+CF,
∴EF=BE+AF.