《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例 3 在凸十边形的所有内角中,锐角的个数最多是(C)
A.$0$
B.$1$
C.$3$
D.$5$
点拨 不妨采用迂回战术,讨论外角最多有多少个钝角.

答案： C 解析:外角中钝角的个数不能超过3个，又内角与相邻的外角互补，故内角中锐角最多不能超过3个.

变式 3 若一个多边形除了 $3$ 个内角以外,其余内角之和为 $2025^{\circ}$,则这个多边形的边数为14或15或16.

答案： 14或15或16 解析:设这个多边形的边数为$n$,由题意,$2025^{\circ}＜(n - 2)×180^{\circ}＜2025^{\circ}+540^{\circ}$,解得$\frac{53}{4}＜n＜\frac{65}{4}$,从而符合条件的$n$为14,15,16.

例 4 已知凸 $n$ 边形 $A_1A_2… A_n(n\gt4)$ 的所有内角都是 $15^{\circ}$ 的整数倍,且 $A_1 + A_2 + A_3 = 285^{\circ}$,则 $n$ 的最大值为______10.
点拨 由多边形内角和关系可得含多个字母的不定方程,解题的关键是运用放缩法建立不等式.

答案： 10 解析:
∵$\angle A_{4}+\angle A_{5}+\cdots+\angle A_{n}=(n - 2)×180^{\circ}-285^{\circ}=180^{\circ}n - 645^{\circ}$,$\angle A_{4}+\angle A_{5}+\cdots+\angle A_{n}=15^{\circ}(k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n - 3})$（$k_{i}$为整数，$i = 1,2,\cdots,n - 3$）,
∴$180n - 645 = 15(k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n - 3})$,即$12n - 43 = k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n - 3}$,由$15k_{i}＜180$,得$k_{i}＜12$,$k_{i}$最大只能取11,
∴$12n - 43\leq11(n - 3)$,得$n\leq10$,故$n$的最大值为10.

变式 4 若凸 $(4n + 2)$ 边形 $A_1A_2… A_{4n + 2}$($n$ 为正整数)的每个内角都是 $30^{\circ}$ 的整数倍,且 $\angle A_1= \angle A_2= \angle A_3 = 90^{\circ}$,则 $n$ 所有可能的值是______1.

答案： 1 解析:
∵$\angle A_{1}=\angle A_{2}=\angle A_{3}=90^{\circ}$,
∴这3个角对应的外角和是$270^{\circ}$.
∵任意多边形的外角和为$360^{\circ}$,
∴这个多边形其他几个外角和为$90^{\circ}$.
∵该多边形每个内角都是$30^{\circ}$的倍数,
∴每个外角也是$30^{\circ}$的倍数.
∵$90^{\circ}÷30^{\circ}=3$,
∴$4n + 2\leq6$,解得$n\leq1$.又
∵$n$为正整数,
∴$n = 1$.

例 5(台州中考节选)研究几何图形,我们往往先给出这类图形的定义,再研究它的性质和判定.
定义：六个内角相等的六边形叫等角六边形.
(1)研究性质
①如图①,等角六边形 $ABCDEF$ 中,三组正边 $AB$ 与 $DE$,$BC$ 与 $EF$,$CD$ 与 $AF$ 分别有什么位置关系？
②如图②,等角六边形 $ABCDEF$ 中,若 $AB = DE$,则其余两组正边 $BC$ 与 $EF$,$CD$ 与 $AF$ 相等吗？
(2)探索判定
三组正边分别平行的六边形,至少需要几个内角为 $120^{\circ}$,才能保证六边形一定是等角六边形？
点拨 (1)①要证 $AB// DE$,只需连接 $AD$ 证明 $\angle DAB= \angle EDA$,其他两组同理可得；②延长 $BA$,$EF$,$ED$,$BC$ 分别相交于点 $P$,$Q$,构造等边三角形；(2)若只有 $1$ 个或 $2$ 个内角为 $120^{\circ}$,通过举反例说明该六边形不一定是等角六边形；若有 $3$ 个内角为 $120^{\circ}$,通过分类讨论证明该六边形一定是等角六边形.

答案：
(1)①结论:$AB// DE$,$BC// EF$,$CD// AF$.证明:连接$AD$,如图①,
∵六边形$ABCDEF$是等角六边形，
∴$\angle BAF=\angle F=\angle E=\angle EDC=\angle C=\angle B=\frac{(6 - 2)×180^{\circ}}{6}=120^{\circ}$.
∵$\angle DAF+\angle F+\angle E+\angle EDA = 360^{\circ}$,
∴$\angle DAF+\angle EDA = 360^{\circ}-120^{\circ}-120^{\circ}=120^{\circ}$.
∵$\angle DAF+\angle DAB = 120^{\circ}$,
∴$\angle DAB=\angle EDA$,
∴$AB// DE$.同理,$BC// EF$,$CD// AF$. ②结论:$BC = EF$,$AF = DC$.如图②,延长$BA$,$EF$,$ED$,$BC$分别相交于点$P$,点$Q$,则四边形$EPBQ$为平行四边形,$\triangle AFP$,$\triangle DCQ$都为等边三角形.
∴$PB = EQ$,即$AB + AP = ED + DQ$,
∴$AB + AF = ED + DC$.故$AF = DC$,同理$BC = EF$.
(2)连接$BF$,如图③,
∵$BC// EF$,
∴$\angle CBF+\angle EFB = 180^{\circ}$.
∵$\angle A+\angle ABF+\angle AFB = 180^{\circ}$,
∴$\angle ABC+\angle A+\angle AFE = 360^{\circ}$,同理,$\angle A+\angle ABC+\angle C = 360^{\circ}$,
∴$\angle AFE=\angle C$.同理,$\angle A=\angle D$,$\angle ABC=\angle E$.Ⅰ.若有2个内角等于$120^{\circ}$,不能保证该六边形一定是等角六边形.反例:当$\angle A=\angle D = 120^{\circ}$,$\angle ABC = 150^{\circ}$时,$\angle E=\angle ABC = 150^{\circ}$.
∵六边形的内角和为$720^{\circ}$,
∴$\angle AFE=\angle C=\frac{1}{2}×(720^{\circ}-120^{\circ}-120^{\circ}-150^{\circ}-150^{\circ})=90^{\circ}$.此时该六边形不是等角六边形.Ⅱ.若有3个内角等于$120^{\circ}$,能保证该六边形一定是等角六边形.设$\angle A=\angle D=\alpha$,$\angle ABC=\angle E=\beta$,$\angle AFE=\angle C=\gamma$.则$2\alpha+2\beta+2\gamma = 720^{\circ}$,
∴$\alpha+\beta+\gamma = 360^{\circ}$.
∵有3个内角等于$120^{\circ}$,
∴$\alpha$、$\beta$、$\gamma$中至少有两个为$120^{\circ}$.若$\alpha$、$\beta$、$\gamma$都等于$120^{\circ}$,则六个内角都等于$120^{\circ}$;若$\alpha$、$\beta$、$\gamma$中有两个为$120^{\circ}$,根据$\alpha+\beta+\gamma = 360^{\circ}$可得第三个也等于$120^{\circ}$,则六个内角都等于$120^{\circ}$.综上所述，至少有3个内角等于$120^{\circ}$,能保证该六边形一定是等角六边形.