《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例 1 下列各式：$\sqrt{a},\sqrt{x + 1},\sqrt{-4},\sqrt{16},\sqrt[3]{8},-\frac{1}{2}x,\sqrt{a^{2}+2},\sqrt{1 - 2x}(x＞\frac{1}{2}),\sqrt{3}+2,\sqrt{-2 - a^{2}}$,哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
点拨 判断一个式子是不是二次根式,首先看它是否含有根号；其次看根指数是不是$2$；最后看被开方数是不是非负数。
变式 1 如果$\sqrt[a]{b - a}$是二次根式,那么$a$,$b$应满足的条件是$a=2$且$b\geq2$。

答案： √16，√(a²+2)都是二次根式，因为它们都含有二次根号，且被开方数都是非负数.
$\sqrt[3]{8}$虽然含有根号，但根指数不是2，所以不是二次根式.
$-\frac{1}{2}x$不含二次根号，故不是二次根式.
$\sqrt{a}$，$\sqrt{x+1}$中，不能确定被开方数是非负数，当$a＜0$时，$\sqrt{a}$无意义；当$x+1＜0$时$\sqrt{x+1}$无意义，所以$\sqrt{a}$，$\sqrt{x+1}$不一定是二次根式.
$\sqrt{3}+2$不符合定义，故不是二次根式.
在$\sqrt{-4}$中，$-4＜0$，$\sqrt{-4}$没有意义，故不是二次根式.
在$\sqrt{1-2x}\left(x＞\frac{1}{2}\right)$中，$1-2x＜0$，$\sqrt{1-2x}$无意义，故不是二次根式.
在$\sqrt{-2-a^2}$中，无论a为任何数，$-2-a^2$总是负数，$\sqrt{-2-a^2}$没有意义，故不是二次根式.
变式1 $a=2$且$b\geq2$ 解析：
∵$\sqrt[a]{b-a}$是二次根式，
∴$a=2$，$b-2\geq0$，
∴$b\geq2$.故答案为$a=2$且$b\geq2$.