《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

变式 2 解方程:$\dfrac{1}{x^{2}+3x + 2}+\dfrac{1}{x^{2}+5x + 6}+\dfrac{1}{x^{2}+7x + 12}= \dfrac{1}{x + 4}$.

答案： $\frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{1}{x^2+5x+6}+\frac{1}{x^2+7x+12}=\frac{1}{x+4}$，将等式左边的分式的分母因式分解，得 $\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}=\frac{1}{x+4}$．即 $\frac{(x+2)-(x+1)}{(x+1)(x+2)}+\frac{(x+3)-(x+2)}{(x+2)(x+3)}+\frac{(x+4)-(x+3)}{(x+3)(x+4)}=\frac{1}{x+4}$，从而 $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}=\frac{1}{x+4}$，于是有 $\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x+4}$，解得 $x=2$，经检验，$x=2$ 是分式方程的解．

例 3 (南充自主招生)当$a$为何值时,关于$x的分式方程\dfrac{1}{x - 1}-\dfrac{a}{2 - x}= \dfrac{2(a + 1)}{x^{2}-3x + 2}$无解.
点拨 将分式方程转化为$(1 + a)x = 3a + 4$,按两种情况$a = - 1与a\neq - 1$分别进行讨论.

答案： 方程两边同时乘 $(x-1)(x-2)$，得 $(x-2)+a(x-1)=2(a+1)$，整理得 $(1+a)x=3a+4$．①当 $a=-1$ 时，方程无解；②当 $x=1$ 时，$a=-\frac{3}{2}$，方程无解；③当 $x=2$ 时，$a=-2$，方程无解．综上所述，$a=-1$，$a=-\frac{3}{2}$，$a=-2$ 时，方程无解．

变式 3 已知关于$x的分式方程\dfrac{2}{x - 3}+\dfrac{mx}{x^{2}-9}= \dfrac{5}{x + 3}$.
(1)若这个方程的解是正数,请求出$m$的取值范围;
(2)若这个方程无解,请你直接写出$m$的值.

答案： （1）方程两边同乘 $(x+3)(x-3)$，得 $2(x+3)+mx=5(x-3)$，解得 $x=\frac{21}{3-m}$．由题意得 $\frac{21}{3-m}＞0$，$\frac{21}{3-m}≠3$，
∴$m＜3$ 且 $m≠-4$．
（2）m 的值为 3 或 10 或 -4 解析：由（1）得，$2(x+3)+mx=5(x-3)$，由题意得 $m-3=0$ 或 $\frac{21}{3-m}=±3$，解得 $m=3$ 或 $m=10$ 或 $m=-4$．故 m 的值为 3 或 10 或 -4．

例 4 (成都自主招生)已知关于$x的分式方程\dfrac{x + 1}{x + 2}-\dfrac{x}{x - 1}= \dfrac{a}{x^{2}+x - 2}$的解为正数,则$a$的取值范围为$a＜-1$ 且 $a≠-3$.
点拨 先解关于$x$的分式方程,求得$x$的值,然后再依据“解是正数”建立不等式求$a$的取值范围.

答案： $a＜-1$ 且 $a≠-3$