《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例1 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC交BC于点D$,且$\angle B = 2\angle C$。求证：$AB + BD = AC$。

点拨 ①截长法：在$AC上截取AE = AB$,连接$DE$；②补短法：延长$AB到F$,使$BF = BD$,连接$DF$。
【截长法】
【补短法】

答案：
截长法:在AC上截取AE=AB,连接DE,如图①,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC.在△ABD和△AED中,AB=AE,∠BAD=∠EAD,AD=AD,
∴△ABD≌△AED(SAS),
∴∠B=∠AED,BD=DE.又∠B=2∠C,
∴∠AED=2∠C.又∠AED=∠C+∠EDC,
∴∠C=∠EDC,
∴DE=CE,
∴AB+BD=AE+CE=AC.

补短法:延长AB到F,使BF=BD,连接DF,如图②,
∵BF=BD,
∴∠F=∠BDF,
∴∠ABC=∠F+∠BDF=2∠F,且∠ABC=2∠C,
∴∠C=∠F.
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD.又AD=AD,
∴△ADF≌△ADC(AAS),
∴AC=AF,
∴AB+BD=AB+BF=AF=AC.

变式1 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle CAB = \angle CBA = 45^{\circ}$,点$E为BC$的中点,$CN\perp AE交AB于N$。
(1) 求证：$\angle 1 = \angle 2$；
(2) 求证：$AE = CN + EN$。(请用多种方法证明：①直接截长法；②间接截长法；③直接补短法；④间接补短法)

答案：

(1)
∵∠CAB=∠CBA=45°,
∴∠ACB=90°.设AE与CN交于点O,
∵AE⊥CN,
∴∠AOC=90°.
∴∠1+∠ACO=90°,∠2+∠ACO=90°,
∴∠1=∠2.
(2)证法①(直接截长法):如图①,在线段AE上截取AM=CN,连接CM.在△ACM和△CBN中,AC=BC,∠2=∠1,AM=CN,
∴△ACM≌△CBN(SAS),
∴CM=BN,∠ACM=∠B=45°,
∴∠MCE=45°,
∴∠B=∠MCE.在△MCE和△NBE中,CM=BN,∠MCE=∠B,CE=BE,
∴△MCE≌△NBE(SAS),
∴EM=EN,
∴AE=AM+EM=CN+EN.
证法②(间接截长法):如图①,作CM平分∠ACB交AE于M.
∵∠CAB=∠B=45°,
∴∠ACM=∠MCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°=∠B.在△ACM和△CBN中,∠2=∠1,AC=BC,∠ACM=∠B,
∴△ACM≌△CBN(ASA),
∴CM=BN,AM=CN.在△MCE和△NBE中,CM=BN,∠MCB=∠B,CE=BE,
∴△MCE≌△NBE(SAS),
∴EM=EN,
∴AE=AM+EM=CN+EN.

证法③(直接补短法):如图②,延长CN到点M,使得CM=AE.在△CBM和△ACE中,CB=CA,∠1=∠2,CM=AE,
∴△CBM≌△ACE(SAS),
∴CE=BM=BE,∠ACE=∠CBM=90°,
∴∠MBN=45°=∠NBE.在△NBM和△NBE中,BN=BN,∠NBM=∠NBE,BM=BE,
∴△NBM≌△NBE(SAS),
∴NM=EN,
∴AE=CM=CN+NM=CN+EN.
证法④(间接补短法):如图②,作BM⊥BC,交CN的延长线于点M.在△CBM和△ACE中,∠1=∠2,BC=AC,∠CBM=∠ACE,
∴△CBM≌△ACE(ASA),
∴AE=CM,CE=BM=BE.
∵∠CBM=90°,∠CBA=45°,
∴∠NBM=∠NBE=45°.在△NBM和△NBE中,BN=BN,∠NBM=∠NBE,BM=BE,
∴△NBM≌△NBE(SAS),
∴NM=EN,
∴AE=CM=CN+NM=CN+EN.