《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例1 如图,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$AC = 20$,$AD = AE = 15$,$DE = 18$。将$\triangle ADE绕点A$旋转,当点$C$,$D$,$E$在同一条直线上时,$CE= $7或25。

点拨 过点$A作AF\perp DC$,根据$AD = AE得到DF和EF$的长,分别在$Rt\triangle AFD和Rt\triangle AFC$中,求得$AF和CF$即可求得答案。

答案： 7或25　解析:过点A作AF⊥DC,交DC于点F,如图①.
∵AD=AE,
∴DF=EF=$\frac{1}{2}$DE=9,在Rt△AFD中,AF= $\sqrt{AD²−DF²}$= $\sqrt{15²−9²}$=12,在Rt△AFC中,CF= $\sqrt{AC²−AF²}$= $\sqrt{20²−12²}$=16,
∴CE=CF−EF=16−9=7.将△ADE绕点A旋转,当点C,D,E在同一条直线上时,如图②,过点A作AF⊥DE,交DE于点F,同理可得DF=EF=$\frac{1}{2}$DE=9,AF= $\sqrt{AD²−DF²}$=12,CF= $\sqrt{AC²−AF²}$=16,
∴CE=CF+EF=16+9=25.故答案为7或25.

变式1 (绥化中考)已知等腰三角形$ABC$,$\angle A = 120^{\circ}$,$AB = 2$。现将$\triangle ABC以点B为旋转中心旋转45^{\circ}$,得到$\triangle A'B'C'$,延长$C'A'交直线BC于点D$,则$A'D$的长度为4+2√3或4−2√3。

答案： 4+2√3或4−2√3　解析:将△ABC绕点B旋转45°得到△A'BC',有以下两种情况，如图①,当△ABC绕点B逆时针旋转45°得到△A'BC'时,过点B作BE⊥A'D于点E,作BD的垂直平分线HF交BD于点H,交A'D于点F,连接BF.
∵△ABC为等腰三角形,∠A=120°,AB=2,
∴∠BA'C'=∠A=120°,A'B=AB=2,∠ABC=30°,
∴∠DA'B=60°,由旋转的性质得∠A'BA=45°,
∴∠A'BC=∠A'BA+∠ABC=75°.又
∵∠A'BC=∠DA'B+∠D,即75°=60°+∠D,
∴∠D=15°,在Rt△A'BE中,∠DA'B=60°,A'B=2,
∴∠A'BE=30°,
∴A'E=$\frac{1}{2}$A'B=1,由勾股定理得BE= $\sqrt{A'B²−A'E²}$=$\sqrt{3}$
∵HF为BD 的垂直平分线，
∴DF=BF,
∴∠D=∠FBD=15°,
∴∠EFB=∠D+∠FBD=30°,
∴BF=2BE=2√3,故DF=BF=2√3,由勾股定理得EF= $\sqrt{BF²−BE²}$=3,
∴A'D=A'E+EF+DF=4+2√3如图②,当△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△A'BC'时,过点D作DM⊥A'B于点M,作BD的垂直平分线PQ交BD于点P,交A'B于点Q,连接DQ.由旋转的性质得∠ABA'=45°,∠BA'C'=∠A=120°,∠ABC=30°,A'B=AB=2,
∴∠A'BD=∠ABA'−∠ABC=15°,∠BA'D=60°.
∵DM⊥A'B,
∴∠A'DM=30°.在Rt△A'DM中,∠A'DM=30°,设A'M=x,则A'D=2A'M=2x,由勾股定理得DM= $\sqrt{A'D²−A'M²}$=$\sqrt{3}$x.
∵PQ为BD的垂直平分线，
∴BQ=DQ,
∴∠A'BD=∠QDB=15°,
∴∠DQM=∠A'BD+∠QDB=30°,
∴DQ=BQ=2DM=2√3x,由勾股定理得QM= $\sqrt{QD²−DM²}$=3x.
∵A'M+QM+BQ=A'B,
∴x+3x+2√3x=2,
∴x=2−√3,即A'D=2x=4−2√3.综上所述,A'D的长度为4+2√3或4−2√3.故答案为4+2√3或4−2√3.

例2 在$\triangle ABC$和$\triangle AEF$中$,AB = AC,AE = AF,\angle BAC = \angle EAF,$连接BE,CF。
【发现问题】如图①,若$\angle BAC = 30^{\circ},$延长BE交CF于点D,则BE与CF的数量关系是BE=CF$,\angle BDC$的度数为30°。
【类比探究】如图②,若$\angle BAC = 120^{\circ},$延长BE,FC相交于点D,请猜想BE与CF的数量关系及$\angle BDC$的度数,并说明理由。【拓展延伸】如图③,若$\angle BAC = 90^{\circ},$且点B,E,F在同一条直线上,过点A作$AM\perp BF,$垂足为点M,请猜想BF,CF,AM之间的数量关系,并说明理由。点拨 证明$\triangle ABE\cong\triangle ACF,$根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质,即可找到它们的数量关系,并证明结论。

[类比探究]BE=CF，∠BDC=60°，理由如下：如图②，
∵∠BAC=∠EAF=120°，
∴∠BAC−∠EAC=∠EAF−∠EAC，即∠BAE=∠CAF。在△ABE和△ACF中，AB=AC，∠BAE=∠CAF，AE=AF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴BE=CF，∠AEB=∠AFC。
∵∠EAF=120°，AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE=30°，
∴∠BDC=∠BEF−∠EFD=∠AEB+30°−(∠AFC−30°)=60°。
[拓展延伸]BF=CF+2AM，理由如下：如图③，
∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAC−∠EAC=∠EAF−∠EAC，即∠BAE=∠CAF。在△ABE和△ACF中，AB=AC，∠BAE=∠CAF，AE=AF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴BE=CF。
∵AE=AF，∠EAF=90°，AM⊥EF，
∴AM=EM=FM，即EF=2AM。
∵BF=BE+EF，
∴BF=CF+2AM。

答案： [发现问题]BE=CF　30°　解析:如图①,设AC与BD 交于点O.
∵∠BAC=∠EAF=30°,
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE,即∠BAE=∠CAF;在△ABE和△ACF中,AB=AC,{∠BAE=∠CAF,
∴△ABE≌△ACF AE=AF,(SAS),
∴BE=CF,∠ABE=∠ACF.
∵∠AOE=∠ABE+∠BAC,∠AOE=∠ACF+∠BDC,
∴∠BDC=∠BAC=30°.　[类比探究]BE=CF,∠BDC=60°,理由如下:如图②,
∵∠BAC=∠EAF=120°,
∴∠BAC−∠EAC=∠EAF−∠EAC,即∠BAE=∠CAF:在△ABE和△ACF中,AB=AC,{∠BAE=∠CAF,
∴△ABE≌△ACF AE=AF,(SAS),
∴BE=CF,∠AEB=∠AFC.
∵∠EAF=120°,AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE=30°,
∴∠BDC=∠BEF−∠EFD=∠AEB+30°−(∠AFC−30°)=60°.　[拓展延伸]BF=CF+2AM,理由如下:如图③,
∵∠BAC=∠EAF=90°,
∴∠BAC−∠EAC=∠EAF−∠EAC,即∠BAE=∠CAF:在△ABE和△ACF中,AB=AC,{∠BAE=∠CAF,
∴△ABE≌△ACF(SAS),
∴BE=CF:
∵AE=AF,∠EAF=90°,AM⊥EF,
∴AM=EM=FM,即EF=2AM.
∵BF=BE+EF,
∴BF=CF+2AM.