《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例 1 【论证】(1)如图①,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,且 $AB = AC$,直线 $l$ 经过点 $A$,$BD\perp$ 直线 $l$,$CE\perp$ 直线 $l$,垂足分别为 $D$,$E$.求证:$\triangle ABD\cong\triangle CAE$.
【尝试】(2)如图②,在平面直角坐标系中,点 $A(0,6)$,点 $B(2,0)$,点 $C$ 在第二象限,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$.请直接写出点 $C$ 的坐标:______.
【拓展】(3)在(2)的条件下,点 $M$ 在第一象限,且 $\triangle MAB$ 为等腰直角三角形.请直接写出所有满足条件的点 $M$ 的坐标.
点拨 (1)根据 $AAS$ 可证明 $\triangle ABD\cong\triangle CAE$;(2)过点 $C$ 作 $CD\perp y$ 轴,垂足为 $D$,证明 $\triangle AOB\cong\triangle CDA$,由全等三角形的性质即可得出答案;(3)分三种情况,由全等三角形的性质得出答案.

答案：

(1)
∵∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = 90°，∠BAD + ∠CAE = ∠BAD + ∠ABD = 90°，
∴∠CAE = ∠ABD。在△ABD和△CAE中，
$\begin{cases}∠BDA = ∠AEC \\∠ABD = ∠CAE \\AB = CA\end{cases}$
∴△ABD≌△CAE(AAS)。
(2)( - 6,4)　解析:如图①，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，
∵A(0,6)，B(2,0)，
∴OA = 6，OB = 2。
∵CD⊥y轴，
∴∠ADC = 90°，
∴∠ACD + ∠CAD = 90°。
∵∠CAD + ∠BAO = ∠BAC = 90°，
∴∠BAO = ∠ACD。
∵AB = AC，∠AOB = ∠ADC = 90°，
∴△AOB≌△CDA(AAS)，
∴CD = OA = 6，AD = OB = 2，
∴OD = OA - AD = 4。
∵点C在第二象限内，
∴C( - 6,4)。故答案为( - 6,4)。

(3)满足条件的点M的坐标为(6,8)或(8,2)或(4,4)。解析:分三种情况:
①如图②，当AM = AB时，过点M作MH⊥y轴，垂足为H，
∴∠HAM + ∠AMH = 90°。
∵∠BAM = 90°，
∴∠MAH + ∠BAO = 90°，
∴∠BAO = ∠AMH。
∵∠AOB = ∠AHM = 90°，AB = AM，
∴△AOB≌△MHA(AAS)，
∴MH = OA = 6，AH = OB = 2，
∴OH = OA + AH = 6 + 2 = 8。
∵点M在第一象限，
∴M(6,8)。
②如图③，当BA = BM时，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，同理可证△AOB≌△BHM，
∴BH = OA = 6，MH = OB = 2，
∴OH = OB + BH = 8。
∵点M在第一象限，
∴M(8,2)。
③如图④，当MA = MB时，过点M作MD⊥x轴，垂足为D，作AE⊥y轴，交DM的延长线于点E，同理可证△AEM≌△MDB，
∴BD = ME，DM = EA。设BD = ME = a，DM = EA = b。
∵MD⊥x轴，AE⊥y轴，
∴∠BDE = ∠OAE = ∠AOB = ∠AEM = 90°，
∴四边形AODE为矩形，
∴OD = AE，OA = DE，即2 + a = b，a + b = 6，解得a = 2，b = 4，
∴OD = 4，DM = 4。
∵点M在第一象限，
∴M(4,4)。
综上，满足条件的点M的坐标为(6,8)或(8,2)或(4,4)。

变式 1 $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形,$\angle ABC = 90^{\circ}$,点 $D$ 是 $AB$ 边上一点,以 $CD$ 为腰作等腰直角三角形 $CDE$,$\angle DCE = 90^{\circ}$.
(1)如图①,作 $EF\perp BC$ 于点 $F$,求证:$\triangle DBC\cong\triangle CFE$.
(2)如图①,连接 $AE$ 交 $BC$ 于点 $M$,求证:$AD = 2BM$.
(3)如图②,过点 $D$ 作 $DG\perp DC$ 交 $AC$ 于点 $G$,过点 $E$ 作 $EH\perp CE$ 交 $CB$ 的延长线于点 $H$,连接 $GH$,当点 $D$ 在 $AB$ 边上运动时,$\frac{HE - GD}{GH}$ 的值会发生变化吗? 若不变,求出该值;若变化,请说明理由.

答案：

(1)
∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE = 90°，
∴CD = CE，∠DCB + ∠ECF = 90°。
∵EF⊥BC，
∴∠ECF + ∠CEF = 90°，
∴∠DCB = ∠CEF。在△DBC和△CFE中，
$\begin{cases}∠DBC = ∠CFE \\∠DCB = ∠CEF \\CD = EC\end{cases}$
∴△DBC≌△CFE(AAS)。
(2)由
(1)得△DBC≌△CFE，
∴BD = CF，BC = EF；
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB = BC，
∴AB = EF，AD = BF。在△ABM和△EFM中，
$\begin{cases}∠AMB = ∠EMF \\∠ABM = ∠EFM \\AB = EF\end{cases}$
∴△ABM≌△EFM(AAS)，
∴BM = FM，
∴BF = 2BM，
∴AD = 2BM。
(3)$\frac{HE - GD}{GH}$的值不变，$\frac{HE - GD}{GH}$ = 1。如图，
在EH上截取EQ = DG，在△CDG和△CEQ中，
$\begin{cases}DG = EQ \\∠CDG = ∠CEQ \\CD = CE\end{cases}$
∴△CDG≌△CEQ(SAS)，
∴CG = CQ，∠DCG = ∠ECQ。
∵∠DCG + ∠DCB = 45°，
∴∠ECQ + ∠DCB = 45°。而∠DCE = 90°，
∴∠HCQ = 45°，
∴∠HCQ = ∠HCG。在△HCG和△HCQ中，
$\begin{cases}HC = HC \\∠HCG = ∠HCQ \\CG = CQ\end{cases}$
∴△HCG≌△HCQ(SAS)，
∴HG = HQ，
∴$\frac{HE - GD}{GH}$ = $\frac{HQ + QE - GD}{HG}$ = $\frac{HG + DG - GD}{HG}$ = 1。