《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

11. 如图①,在四边形ABCD中,∠A= ∠B= ∠C= ∠D= 90°,AB= CD= 6,BC= AD= 10,点E是射线CD上一动点,点C沿过点E的直线l翻折得到点C'.

(1)直线l过点B.
①如图②,若点C恰好落在AD边上,连接BC'和EC',求CE长；
②如图③,连接CC'和C'D,当点E在射线CD上移动时,是否存在某个位置,使得∠CC'D是直角,若存在,请写出点E的位置,并求此时线段CC'的长度；若不存在,请说明理由；
(2)如图④,若点C落在边AD上,直线l与折线AB-BC的交点为M,当点C'从点D移动到点A的过程中,点M的移动路径长为______$\frac{31}{5}$.

(1)①根据翻折的性质可得BC=BC'=10,CE=C'E,又
∵∠A=90°,AB=6,
∴AC'=$\sqrt{BC'^2-AB^2}=8$.
∵AD=10,
∴C'D=AD-AC'=2,设CE=C'E=x,则ED=6-x.
∵∠D=90°,C'D=2,
∴C'E=$\sqrt{DE^2+C'D^2}$,代入数值为x=$\sqrt{(6-x)^2+2^2}$,解得x=$\frac{10}{3}$,
∴CE长为$\frac{10}{3}$.②存在点E,使得∠CC'D是直角.根据翻折的性质可得CE=C'E,
∴∠CC'E=∠C'CE,当∠CC'D是直角时,∠CC'E+∠EC'D=90°,∠C'CE+∠C'DE=90°,又
∵∠CC'E=∠C'CE,
∴∠EC'D=∠C'DE,
∴C'E=DE.又
∵CE=C'E,
∴CE=DE,即点E的位置是CD的中点.
∵点C与点C'关于BE对称,
∴CC'⊥BE.
∵BC=BC',CE=C'E,BE=BE,
∴△EBC≌△EBC'(SSS),
∴△EBC的面积为四边形CBC'E面积的一半.
∵BC=10,CE=$\frac{1}{2}$CD=3,∠BCE=90°,
∴BE=$\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{10^2+3^2}=\sqrt{109}$.又
∵CC'⊥BE,
∴四边形CBC'E的面积为$\frac{1}{2}BE\cdot CC'=\frac{\sqrt{109}}{2}CC'$,$S_{\triangle EBC}=\frac{1}{2}BC\cdot CE=\frac{1}{2}×10×3=15$.
∵△EBC的面积为四边形CBC'E面积的一半,
∴$\frac{\sqrt{109}}{2}CC'=2×15$,即CC'=$\frac{60\sqrt{109}}{109}$,
∴点E的位置是CD的中点，线段CC'的长度为$\frac{60\sqrt{109}}{109}$.

答案：
(1)①根据翻折的性质可得BC=BC'=10,CE=C'E,又
∵∠A=90°,AB=6,
∴AC'=$\sqrt{BC'^2-AB^2}=8$.
∵AD=10,
∴C'D=AD-AC'=2,设CE=C'E=x,则ED=6-x.
∵∠D=90°,C'D=2,
∴C'E=$\sqrt{DE^2+C'D^2}$,代入数值为x=$\sqrt{(6-x)^2+2^2}$,解得x=$\frac{10}{3}$,
∴CE长为$\frac{10}{3}$.②存在点E,使得∠CC'D是直角.根据翻折的性质可得CE=C'E,
∴∠CC'E=∠C'CE,当∠CC'D是直角时,∠CC'E+∠EC'D=90°,∠C'CE+∠C'DE=90°,又
∵∠CC'E=∠C'CE,
∴∠EC'D=∠C'DE,
∴C'E=DE.又
∵CE=C'E,
∴CE=DE,即点E的位置是CD的中点.
∵点C与点C'关于BE对称,
∴CC'⊥BE.
∵BC=BC',CE=C'E,BE=BE,
∴△EBC≌△EBC'(SSS),
∴△EBC的面积为四边形CBC'E面积的一半.
∵BC=10,CE=$\frac{1}{2}$CD=3,∠BCE=90°,
∴BE=$\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{10^2+3^2}=\sqrt{109}$.又
∵CC'⊥BE,
∴四边形CBC'E的面积为$\frac{1}{2}BE\cdot CC'=\frac{\sqrt{109}}{2}CC'$,$S_{\triangle EBC}=\frac{1}{2}BC\cdot CE=\frac{1}{2}×10×3=15$.
∵△EBC的面积为四边形CBC'E面积的一半,
∴$\frac{\sqrt{109}}{2}CC'=2×15$,即CC'=$\frac{60\sqrt{109}}{109}$,
∴点E的位置是CD的中点，线段CC'的长度为$\frac{60\sqrt{109}}{109}$.
(2)$\frac{31}{5}$

12. (宁波中考)如图,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连接AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD的面积分别为$S,S_1,S_2,$若要求出$S-S_1-S_2$的值,只需知道(C)

A.△ABE的面积
B.△ACD的面积
C.△ABC的面积
D.矩形BCDE的面积

答案： C

13. (重庆自主招生)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠DAC= 60°,点F在线段AO上,连接DF,以DF为边作等边三角形DFE,点E和点A分别位于DF两侧,下列结论：①DO= DA；②DF= EC；③∠ADF= ∠ECF；④∠BDE= ∠EFC中,正确结论的序号为(D)

A.①④
B.①②③
C.②③④
D.①②③④

答案： D