《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

1. 如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为 $8$ cm,则图中所有正方形的面积的和是(D)

A.$64$ cm^2
B.$81$ cm^2
C.$128$ cm^2
D.$192$ cm^2

答案： D

2. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 8$,$BC = 6$,按图中所示方法将 $\triangle BCD$ 沿 $BD$ 折叠,使点 $C$ 落在边 $AB$ 上的点 $C'$ 处,则点 $D$ 到 $AB$ 的距离为(A)

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$\frac{12}{5}$

答案： A

3. 《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载：今有开门去阃(读 kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何？题目大意是：如图①,②(图②为图①的平面示意图),推开双门,双门间隙 $CD$ 的距离为 $2$ 寸,点 $C$ 和点 $D$ 距离门槛 $AB$ 都为 $1$ 尺($1$ 尺 $= 10$ 寸),则 $AB$ 的长是101寸.

答案： 101

4. 在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 15$,$AC = 13$,高 $AD = 12$,则 $\triangle ABC$ 的面积为24或84.

答案： 24或84

5. 如图,在 $□ ABCD$ 中,点 $E$,$F$ 分别在边 $AD$,$BC$ 上,连接 $EF$,将四边形 $CDEF$ 沿直线 $EF$ 翻折,点 $D$ 恰好与点 $B$ 重合,点 $C$ 的对应点为点 $G$.若 $ED = EF$,$CF = 2$,$AB = 2\sqrt{7}$,则 $□ ABCD$ 的面积为24$\sqrt{3}$.

答案： 24$\sqrt{3}$

6. 如图①,$\triangle ACB$ 和 $\triangle ECD$ 都是等腰直角三角形,$CA = CB$,$CE = CD$,$\triangle ACB$ 的顶点 $A$ 在 $\triangle ECD$ 的斜边 $DE$ 上.
(1) 证明 $\angle ECA = \angle DAB$；
(2) 猜想 $AE$,$AB$,$AD$ 之间的数量关系,并证明；
(3) 如图②,若 $AE = 4$,$AC = 4\sqrt{5}$,点 $F$ 是 $AD$ 的中点,求 $CF$ 的长.

答案：

(1)
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,
∴∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°,∠CEA=∠CDE=45°,∠CAB=∠CBA=45°,
∴∠ECA=∠DCB.
∵∠CEA+∠ECA+∠EAC=180°,∠EAC+∠CAB+∠DAB=180°,
∴∠ECA=∠DAB.
(2)AD²+AE²=AB².证明如下:如图①,连接BD,在△ECA和△DCB中,$\begin{cases}CE = CD\\∠ECA = ∠DCB\\CA = CB\end{cases}$,
∴△ECA≌△DCB(SAS),
∴AE=BD,∠CEA=∠CDB=45°,
∴∠ADB=∠CDB+∠EDC=90°,
∴△ADB是直角三角形，
∴AD²+BD²=AB²,
∴AD²+AE²=AB².
　　　 　　
(3)如图②,过点C作CH⊥DE于点H,
∵AC²+BC²=AB²,AE²+AD²=AB²,AE=4,AC=4$\sqrt{5}$,
∴AD=12,
∴DE=AE+AD=16.
∵点F是AD的中点，
∴AF=DF=6.
∵△ECD是等腰直角三角形,CH⊥DE,DE=16,
∴CH=DH=EH=8,
∴HF=DH−DF=2,
∴CF=$\sqrt{CH²+HF²}$=$\sqrt{64+4}$=2$\sqrt{17}$

7. (包头自主招生)如图,阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形,已知 $S_{1}+S_{2}= 7$,且 $AC + BC = 8$,则 $AB$ 的长为(A)

A.$6$
B.$2\sqrt{23}$
C.$5\sqrt{2}$
D.$\sqrt{78}$

答案： A　解析:由勾股定理得AC²+BC²=AB².
∵S₁+S₂=7,
∴$\frac{1}{2}$×π×($\frac{AC}{2}$)²+$\frac{1}{2}$×π×($\frac{BC}{2}$)²+$\frac{1}{2}$×AC×BC - $\frac{1}{2}$×π×($\frac{AB}{2}$)²=7,
∴AC×BC=14,
∴AB=$\sqrt{AC²+BC²}$=$\sqrt{(AC+BC)²−2×AC×BC}$=6.故选A.