《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例4 (1) 如图①,在四边形$ABCD$中,$AB = AD$,$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$,$E$,$F分别是边BC$,$CD$上的点,且$\angle EAF = \frac{1}{2}\angle BAD$,线段$EF$,$BE$,$FD$之间的数量关系是______(不需要证明)。
(2) 如图②,在四边形$ABCD$中,$AB = AD$,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$,$E$,$F分别是边BC$,$CD$上的点,且$\angle EAF = \frac{1}{2}\angle BAD$,(1)中的结论是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明。
(3) 如图③,在四边形$ABCD$中,$AB = AD$,$\angle B + \angle ADC = 180^{\circ}$,$E$,$F分别是边BC$,$CD$延长线上的点,且$\angle EAF = \frac{1}{2}\angle BAD$,(1)中的结论是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明。
点拨 (1) 延长$CB至G$,使$BG = DF$,连接$AG$,先证明三角形全等,再用全等三角形的性质得出结论；(2) 延长$CB至M$,使$BM = DF$,连接$AM$；(3) 在$EB上截取BH = DF$,连接$AH$,都仿照(1)的证明方法解答。

答案：

(1)EF=BE+FD
(2)
(1)中的结论仍然成立.证明:如图①,延长CB至M,使BM=DF,连接AM.
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠1=180°,
∴∠1=∠D.在△ABM和△ADF中,AB=AD,∠1=∠D,BM=DF,
∴△ABM≌△ADF(SAS),
∴AM=AF,∠3=∠2.
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠2+∠4=∠EAF,
∴∠EAM=∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF.在△MAE和△FAE中,AM=AF,∠MAE=∠FAE,AE=AE,
∴△MAE≌△FAE(SAS),
∴EM=EF.
∵EM=BM+BE=BE+DF,
∴EF=BE+FD.

(3)
(1)中的结论不成立,EF=BE-FD.证明:如图②,在EB上截取BH=DF,连接AH,同
(2)中证法可得,△ABH≌△ADF,
∴AH=AF,∠BAH=∠DAF,
∴∠HAE=∠FAE.在△HAE和△FAE中,AH=AF,∠HAE=∠FAE,AE=AE,
∴△HAE≌△FAE(SAS),
∴EF=EH.
∵EH=BE-BH=BE-DF,
∴EF=BE-FD.

变式4 【感知】如图①,点$M是正方形ABCD的边BC$上一点,点$N是CD$延长线上一点,且$MA\perp AN$,易证$\triangle ABM\cong\triangle ADN$,进而证得$BM = DN$(不要求证明)。
【应用】如图②,在正方形$ABCD$中,点$E$,$F分别在边BC$,$CD$上,且$\angle EAF = 45^{\circ}$。求证：$BE + DF = EF$。
【拓展】如图③,在四边形$ABCD$中,$AB = AD$,$\angle BAD = 90^{\circ}$,$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$,点$E$,$F分别在边BC$,$CD$上,且$\angle EAF = 45^{\circ}$,若$BD = 3$,$EF = 1.7$,则四边形$BEFD$的周长为______。

答案：
[应用]如图①,过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠B=∠BAD=∠ADC=90°,
∴∠B=∠ADG=90°,∠BAE+∠EAD=90°.
∵AG⊥AE,
∴∠DAG+∠EAD=90°,
∴∠BAE=∠DAG.在△ABE和△ADG中,∠B=∠ADG,AB=AD,∠BAE=∠DAG,
∴△ABE≌△ADG(ASA),
∴AE=AG,BE=DG.
∵∠EAF=45°,AG⊥AE,
∴∠EAF=∠GAF=45°.在△FAE和△FAG中,AF=AF,∠FAE=∠FAG,AE=AG,
∴△FAE≌△FAG(SAS),
∴EF=FG.
∵FG=DF+DG=DF+BE,
∴BE+DF=EF;

[拓展]6.4 解析:如图②,过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G.
∵AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°,
∴∠ABE=∠ADG.
∵AG⊥AE,
∴∠DAG+∠EAD=90°.
∵∠BAE+∠EAD=90°,
∴∠BAE=∠DAG.在△ABE和△ADG中,∠ABE=∠ADG,AB=AD,∠BAE=∠DAG,
∴△ABE≌△ADG(ASA),
∴AE=AG,BE=DG.
∵∠EAF=45°,AG⊥AE,
∴∠EAF=∠GAF=45°.在△FAE和△FAG中,AF=AF,∠FAE=∠FAG,AE=AG,
∴△FAE≌△FAG(SAS),
∴EF=FG.
∵FG=DF+DG=DF+BE,
∴BE+DF=EF.
∴四边形BEFD的周长为EF+(BE+DF)+DB=1.7+1.7+3=6.4.故答案为6.4.