《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

1. 因式分解：
(1)(恩施州中考)$a(a - 2)+1=$$(a-1)^{2}$.
(2)(丹东中考)$y^{3}-16y=$$y(y-4)(y+4)$.
(3)(呼和浩特中考)$2b^{3}-4b^{2}+2b=$$2b(b-1)^{2}$.
(4)(绥化中考)$x^{2}+xy - xz - yz=$$(x-z)(x+y)$.

答案：
(1)$(a-1)^{2}$
(2)$y(y-4)(y+4)$
(3)$2b(b-1)^{2}$
(4)$(x-z)(x+y)$

2. (杭州中考)设$y = kx$,存在实数$k$,使得代数式$(x^{2}-y^{2})(4x^{2}-y^{2})+3x^{2}(4x^{2}-y^{2})$能化简为$x^{4}$,则$k^{2}=$3或5.

答案： 3或5

3. (安徽中考)观察以下等式：
第 1 个等式：$(2×1 + 1)^{2}= (2×2 + 1)^{2}-(2×2)^{2},$
第 2 个等式：$(2×2 + 1)^{2}= (3×4 + 1)^{2}-(3×4)^{2},$
第 3 个等式：$(2×3 + 1)^{2}= (4×6 + 1)^{2}-(4×6)^{2},$
第 4 个等式：$(2×4 + 1)^{2}= (5×8 + 1)^{2}-(5×8)^{2},$
……按照以上规律,解决下列问题：(1)写出第 5 个等式：$(2×5+1)^{2}=(6×10+1)^{2}-(6×10)^{2}$；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明.
(2)第n个等式为$(2n+1)^{2}=[(n+1)\cdot 2n+1]^{2}-[(n+1)\cdot 2n]^{2}$,证明如下:等式左边:$(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1$,等式右边:$[(n+1)\cdot 2n+1]^{2}-[(n+1)\cdot 2n]^{2}=[(n+1)\cdot 2n+1+(n+1)\cdot 2n]\cdot [(n+1)\cdot 2n+1-(n+1)\cdot 2n]=[(n+1)\cdot 4n+1]×1=4n^{2}+4n+1$,故等式$(2n+1)^{2}=[(n+1)\cdot 2n+1]^{2}-[(n+1)\cdot 2n]^{2}$成立.

答案：
(1)$(2×5+1)^{2}=(6×10+1)^{2}-(6×10)^{2}$
(2)第n个等式为$(2n+1)^{2}=[(n+1)\cdot 2n+1]^{2}-[(n+1)\cdot 2n]^{2}$,证明如下:等式左边:$(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1$,等式右边:$[(n+1)\cdot 2n+1]^{2}-[(n+1)\cdot 2n]^{2}=[(n+1)\cdot 2n+1+(n+1)\cdot 2n]\cdot [(n+1)\cdot 2n+1-(n+1)\cdot 2n]=[(n+1)\cdot 4n+1]×1=4n^{2}+4n+1$,故等式$(2n+1)^{2}=[(n+1)\cdot 2n+1]^{2}-[(n+1)\cdot 2n]^{2}$成立.

4. 已知$a^{2}(b + c)= b^{2}(a + c)= 2023$,且$a$,$b$,$c$互不相等,求$c^{2}(a + b)-2024$的值.

答案： $\because a^{2}(b+c)=b^{2}(a+c),\therefore a^{2}b+a^{2}c-ab^{2}-b^{2}c=0,\therefore ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=0,\therefore (a-b)(ab+ac+bc)=0.\because a≠b,\therefore a-b≠0,$$\therefore ab+ac+bc=0$,即$ab+ac=-bc,ac+bc=-ab.\because a^{2}(b+c)=a(ab+ac)=2023,\therefore a(-bc)=2023,\therefore -abc=2023,\therefore abc=-2023,$$\therefore c^{2}(a+b)-2024=c(ac+bc)-2024=c(-ab)-2024=-abc-2024=-1.$

5. 一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和,称这个整数为“可拆分”整数,反之则称“不可拆分”整数. 例如,$11 = 1 + 5 + 1×5$,$11$是一个“可拆分”整数. 下列说法：①最小的“可拆分”整数是$5$；②“可拆分”整数的拆分方式可以不只一种；③最大的“不可拆分”的两位整数是$96$. 其中正确的个数是(D)
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： D

6. $\frac{(2^{3}-1)(3^{3}-1)(4^{3}-1)…(1000^{3}-1)}{(2^{3}+1)(3^{3}+1)(4^{3}+1)…(1000^{3}+1)}$的值最接近(B)
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： B

7. 对于任意正整数$n$,整式$n^{3}+(n + 1)^{3}+n^{2}-(n + 1)^{2}$的值一定是6的倍数(填最大的正整数).

答案： 6

8. (北京竞赛)在$1\sim100之间若存在整数n$,使$x^{2}+x - n$能分解为两个整系数一次式的乘积,这样的$n$有9个.

答案： 9

9. 有$n(n\geqslant2$且为整数)支乒乓球队进行单循环赛,每支参赛队同其他各队都进行一场比赛(比赛没有平局). 如果用$a_{i}和b_{i}分别表示第i(i = 1,2,3,…,n)$支球队在整个赛程中胜与负的局数,求证：$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}= b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2}$.

答案： $\because$比赛没有平局,且所有球队胜的总场数与负的总场数相等,$\therefore a_{i}+b_{i}=n-1$,且$a_{1}+a_{2}+... +a_{n}=b_{1}+b_{2}+... +b_{n}.$$\therefore a_{i}^{2}-b_{i}^{2}=(a_{i}+b_{i})(a_{i}-b_{i})=(n-1)(a_{i}-b_{i}).$$\because (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+... +a_{n}^{2})-(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+... +b_{n}^{2})$$=(a_{1}^{2}-b_{1}^{2})+(a_{2}^{2}-b_{2}^{2})+... +(a_{n}^{2}-b_{n}^{2})$$=(a_{1}+b_{1})(a_{1}-b_{1})+(a_{2}+b_{2})(a_{2}-b_{2})+... +(a_{n}+b_{n})(a_{n}-b_{n})$$=(n-1)(a_{1}-b_{1})+(n-1)(a_{2}-b_{2})+... +(n-1)(a_{n}-b_{n})$$=(n-1)[a_{1}-b_{1}+a_{2}-b_{2}+... +a_{n}-b_{n}]$$=(n-1)[(a_{1}+a_{2}+... +a_{n})-(b_{1}+b_{2}+... +b_{n})]=0,$$\therefore a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+... +a_{n}^{2}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+... +b_{n}^{2}.$