《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例1 如图,点P是∠AOB外的一点,点Q是点P关于OA的对称点,点R是点P关于OB的对称点,直线QR分别交∠AOB两边OA,OB于点M,N,连接PM,PN,如果∠PMO = 33°,∠PNO = 70°,求∠QPN的度数.
点拨 先根据点P与点Q关于直线OA对称可知OM是线段PQ的垂直平分线,根据三角形内角和定理求出∠PQM的度数,再由平角的定义得出∠PNQ的度数,由三角形外角的性质即可得出结论.

答案：
∵点Q和点P关于OA对称,点R和点P关于OB对称,
∴直线OA,OB分别是PQ,PR的垂直平分线，
∴MP=MQ,NP=NR,
∴∠PMO=∠QMO,∠PNO=∠RNO.
∵∠PMO=33°,∠PNO=70°,
∴∠PMO=∠QMO=33°,∠PNO=∠RNO=70°,
∴∠PMQ=66°,∠PNR=140°,
∴∠MQP=57°,∠PNQ=40°,
∴∠QPN=17°.

变式1 【定义】如图①,OM平分∠AOB,则称射线OB,OA关于OM对称.
【理解题意】(1)如图①,射线OB,OA关于OM对称且∠AOB = 45°,则∠AOM = ______°；
【应用实际】(2)如图②,若∠AOB = 45°,OP在∠AOB内部$,OP,OP_1$关于OB对称$,OP,OP_2$关于OA对称,求$∠P_1OP_2$的度数；
(3)如图③,若∠AOB = 45°,OP在∠AOB外部,且$0° ＜ ∠AOP ＜ 45°,OP,OP_1$关于OB对称$,OP,OP_2$关于OA对称,求$∠P_1OP_2$的度数；
【拓展提升】(4)如图④,若$∠AOB = 45°,OP,OP_1$关于∠AOB的OB边对称$,∠AOP_1 = 4∠BOP_1,$求∠AOP的度数.

答案：

(1)22.5　解析:
∵射线OB,OA关于OM对称且∠AOB=45°,
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°,故答案为22.5.
(2)
∵OP和$OP_1$关于OB对称,
∴∠POP₁ = 2∠BOP.又
∵OP和$OP_2$关于OA对称,
∴∠POP₂ = 2∠AOP.
∵∠$P_1OP_2$ = ∠POP₁ + ∠POP₂,
∴∠$P_1OP_2$ = 2∠BOP + 2∠AOP = 2∠AOB = 90°.
(3)
∵OP和$OP_1$关于OB对称,
∴∠POP₁ = 2∠BOP.又
∵OP和$OP_2$关于OA对称,
∴∠POP₂ = 2∠AOP.
∵∠$P_1OP_2$ = ∠POP₁ - ∠POP₂,
∴∠$P_1OP_2$ = 2∠BOP - 2∠AOP = 2∠AOB = 90°.
(4)①OP在∠AOB内部,如图①.
∵OP,$OP_1$关于OB对称，
∴∠BOP = ∠BOP₁.
∵∠AOP₁ = 4∠BOP₁,
∴∠AOB = 3∠BOP₁ = 45°,
∴∠BOP₁ = 15°,
∴∠BOP₁ = ∠BOP = 15°,
∴∠AOP = 30°.②OP在∠AOB外部,
∵∠AOP₁ = 4∠BOP₁,
∴射线OP在射线OB的上面，如图②.
∵OP,$OP_1$关于OB对称，
∴∠BOP = ∠BOP₁.
∵∠AOP₁ = 4∠BOP₁,
∴∠AOB = ∠BOP₁ + ∠AOP₁ = 5∠BOP₁ = 45°,
∴∠BOP₁ = 9°,
∴∠BOP₁ = ∠BOP = 9°,
∴∠AOP = 45° + 9° = 54°.综上所述,∠AOP = 30°或54°.