《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例3 已知$a$,$b$,$c$是三个非负数,且满足$3a + 2b + c = 6$,$2a + b - 3c = 1$,设$m = 3a + b - 7c$,$s为m$的最大值,则$s$的值为$-\frac{6}{11}$。
点拨 先把$c$看作已知数,分别用$c表示出a和b$,令$a\geq0$,$b\geq0$,列式求出$c$的取值范围,再求得$m用c$表示的形式,结合$c的取值范围即可求得s$的值。

答案： $-\frac{6}{11}$ 解析:$3a + 2b + c = 6$,$2a + b - 3c = 1$,解得 $a = 7c - 4$,$b = 9 - 11c$。
∵ $a\geq 0$,$b\geq 0$,
∴ $7c - 4\geq 0$,$9 - 11c\geq 0$,
∴ $\frac{4}{7}\leq c\leq \frac{9}{11}$。
∵ $m = 3a + b - 7c = 3c - 3$,
∴ $m$ 随 $c$ 的增大而增大。
∵ $c\leq \frac{9}{11}$,
∴当 $c$ 取最大值 $\frac{9}{11}$ 时,$m$ 有最大值,
∴ $m$ 的最大值 $s = 3×\frac{9}{11}-3 = -\frac{6}{11}$。故答案为 $-\frac{6}{11}$。

变式3 函数$y= (3 - m)x + n$（$m$,$n$为常数,$m\neq3$）,若$2m + n = 1$,当$-1\leq x\leq3$时,函数有最大值$2$,则$n=$$-\frac{11}{5}$。

答案： $-\frac{11}{5}$ 解析:①当 $3 - m ＞ 0$ 即 $m ＜ 3$ 时,当 $x = 3$ 时,$y = 3(3 - m)+n = 2$,整理,得 $3m - n = 7$。联立方程组 $\left\{\begin{array}{l} 2m + n = 1\\ 3m - n = 7\end{array}\right.$,解得 $\left\{\begin{array}{l} m = \frac{8}{5}\\ n = -\frac{11}{5}\end{array}\right.$。②当 $3 - m ＜ 0$ 即 $m ＞ 3$ 时,当 $x = -1$ 时,$y = -(3 - m)+n = 2$,整理,得 $m + n = 5$。联立 $\left\{\begin{array}{l} 2m + n = 1\\ m + n = 5\end{array}\right.$,解得 $\left\{\begin{array}{l} m = -4\\ n = 9\end{array}\right.$,故舍去。综上,$n = -\frac{11}{5}$。故答案为 $-\frac{11}{5}$。

例4 如图,直线$y = -\frac{4}{3}x + 8与x$轴、$y轴交于A$,$B$两点,则$\angle BAO的平分线所在的直线AM$的表达式是____。

点拨 确定出点$A与点B$的坐标,在$x轴负半轴上取一点B'$,使$AB = AB'$,连接$MB'$,证明$\triangle ABM\cong\triangle AB'M$,设$BM = B'M = x$,可得出$OM = 8 - x$。在$Rt\triangle B'OM$中,利用勾股定理列方程求解,确定出点$M$的坐标,设直线$AM的表达式为y = kx + b$,将点$A与点M的坐标代入求出k与b$的值,即可确定出直线$AM$的表达式。

答案：
$y = -\frac{1}{2}x + 3$ 解析:对于直线 $y = -\frac{4}{3}x + 8$,令 $x = 0$,得 $y = 8$;令 $y = 0$,得 $x = 6$,
∴ $A(6,0)$,$B(0,8)$,即 $OA = 6$,$OB = 8$。根据勾股定理得 $AB = 10$,如图,在 $x$ 轴负半轴上取一点 $B'$,使 $AB = AB'$,连接 $MB'$,$\because AM$ 为 $\angle BAO$ 的平分线,$\therefore \angle BAM = \angle B'AM$,在 $\triangle ABM$ 和 $\triangle AB'M$ 中,$\left\{\begin{array}{l} AB = AB'\\ \angle BAM = \angle B'AM\\ AM = AM\end{array}\right.$,
∴ $\triangle ABM\cong \triangle AB'M(SAS)$,$\therefore BM = B'M$。设 $BM = B'M = x$,则 $OM = OB - BM = 8 - x$。在 $Rt\triangle B'OM$ 中,$B'O = AB'-OA = 10 - 6 = 4$,根据勾股定理得 $x^{2}=4^{2}+(8 - x)^{2}$,解得 $x = 5$,$\therefore OM = 3$,即 $M(0,3)$。设直线 $AM$ 的表达式为 $y = kx + b$,将点 $A,M$ 的坐标代入得 $\left\{\begin{array}{l} 6k + b = 0\\ b = 3\end{array}\right.$,解得 $\left\{\begin{array}{l} k = -\frac{1}{2}\\ b = 3\end{array}\right.$,
∴直线 $AM$ 的表达式为 $y = -\frac{1}{2}x + 3$。

故答案为 $y = -\frac{1}{2}x + 3$。

 变式4 (呼和浩特中考)在平面直角坐标系中,点$A(3,0)$,$B(0,4)$,以$AB为一边在第一象限作正方形ABCD$,则对角线$BD$所在直线的表达式为( )

A.$y = -\frac{1}{7}x + 4$
B.$y = -\frac{1}{4}x + 4$
C.$y = -\frac{1}{2}x + 4$
D.$y = 4$

答案：
A 解析:如图,过点 $D$ 作 $DH\perp x$ 轴于点 $H$;
∵点 $A(3,0)$,$B(0,4)$,
∴ $OA = 3$,$OB = 4$。
∵四边形 $ABCD$ 为正方形,
∴ $AB = AD$,$\angle BAD = 90^{\circ}$。
∵ $\angle OBA+\angle OAB = 90^{\circ}$,$\angle BAO+\angle DAH = 90^{\circ}$,
∴ $\angle ABO = \angle DAH$。在 $\triangle ABO$ 和 $\triangle DAH$ 中,$\left\{\begin{array}{l} \angle AOB = \angle DHA\\ \angle ABO = \angle DAH\\ AB = DA\end{array}\right.$,
∴ $\triangle ABO\cong \triangle DAH(AAS)$,$\therefore AH = OB = 4$,$DH = OA = 3$,$\therefore D(7,3)$。设直线 $BD$ 的表达式为 $y = kx + b$,把点 $D(7,3)$,$B(0,4)$ 代入得 $\left\{\begin{array}{l} 7k + b = 3\\ b = 4\end{array}\right.$,解得 $\left\{\begin{array}{l} k = -\frac{1}{7}\\ b = 4\end{array}\right.$,
∴直线 $BD$ 的表达式为 $y = -\frac{1}{7}x + 4$。

故选 A。

例5 一次函数规律性问题：如图,直线$l_1:y = x + 1与直线l_2:y= \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}相交于点P(-1,0)$,直线$l_1与y轴交于点A$,一动点$C从点A$出发,先沿平行于$x$轴的方向运动,到达直线$l_2上的点B_1$处后,改为沿垂直于$x$轴的方向运动,到达直线$l_1上的点A_1$处后,再沿平行于$x$轴的方向运动,到达直线$l_2上的点B_2$处后,又改为沿垂直于$x$轴的方向运动,到达直线$l_1上的点A_2$处后,仍沿平行于$x$轴的方向运动,…,照此规律运动,动点$C依次经过点B_1$,$A_1$,$B_2$,$A_2$,$B_3$,$A_3$,…,$B_{1000}$,$A_{1000}$,…,则当动点$C到达A_{1000}$处时,运动的总路径的长为(B)

A.$2^{1000}-1$
B.$2^{1001}-2$
C.$2^{1000}-2$
D.$2^{1001}-1$

答案： B 解析:由直线 $l_{1}:y = x + 1$ 可知,$A(0,1)$,根据平行于 $x$ 轴的直线上的两点纵坐标相等,平行于 $y$ 轴的直线上的两点横坐标相等,及直线 $l_{1},l_{2}$ 的表达式可知,$B_{1}(1,1)$,$AB_{1}=1$,$A_{1}(1,2)$,$A_{1}B_{1}=2 - 1 = 1$,$AB_{1}+A_{1}B_{1}=2$,$B_{2}(3,2)$,$A_{2}(3,4)$,$A_{1}B_{2}=3 - 1 = 2$,$A_{2}B_{2}=4 - 2 = 2$,$A_{1}B_{2}+A_{2}B_{2}=2 + 2 = 4 = 2^{2}$,$\cdots$,由此可得 $A_{n - 1}B_{n}+A_{n}B_{n}=2^{n}$,所以当动点 $C$ 到达 $A_{n}$ 处时,运动的总路径的长为 $2 + 2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{n}=2^{n + 1}-2$。故选 B。