《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

变式 2 如图所示,在正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知 $A$,$B$ 是两格点,如果 $C$ 也是图中的格点,且使 $\triangle ABC$ 为等腰三角形,那么符合条件的点 $C$ 有8个。

答案： 8　解析：如图所示：
∴符合条件的点C有8个.故答案为8.

例 3 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 60^{\circ}$,$BE$,$CF$ 交于点 $P$,且分别平分 $\angle ABC$,$\angle ACB$。
(1) 求 $\angle BPC$ 的度数；
(2) 连接 $EF$,求证：$\triangle EFP$ 是等腰三角形。
点拨 (1) 根据三角形内角和定理得出 $\angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - \angle A = 120^{\circ}$,根据角平分线定义得出 $\angle ABE = \angle CBE = \frac{1}{2}\angle ABC$,$\angle BCF = \angle ACF = \frac{1}{2}\angle ACB$,求出 $\angle CBE + \angle BCF = \frac{1}{2}\angle ABC + \frac{1}{2}\angle ACB = 60^{\circ}$,再根据三角形内角和定理求出答案即可；
(2) 在 $BC$ 上截取 $BQ = BF$,连接 $PQ$,证明 $\triangle FBP \cong \triangle QBP$ 和 $\triangle CQP \cong \triangle CEP$,根据全等三角形的性质得出 $EP = QP$,求出 $FP = EP$ 即可。

答案：
(1)
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180° - ∠A=120°.
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCF=∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠CBE+∠BCF=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠BPC=180° - (∠CBE+∠BCF)=180° - 60°=120°.
(2)如图，在BC上截取BQ=BF，连接PQ，在△FBP和△QBP中，$\left\{\begin{array}{l} BP=BP,\\ ∠FBP=∠QBP,\\ BF=BQ,\end{array}\right.$
∴△FBP≌△QBP(SAS)，
∴FP=QP，∠BFP=∠BQP.
∵∠A=60°，∠FPE=∠BPC=120°，
∴∠AFP+∠AEP=360° - 60° - 120°=180°，
∴∠BFP+∠CEP=180°.
∵∠CQP+∠BQP=180°，
∴∠CEP=∠CQP，在△CQP和△CEP中，$\left\{\begin{array}{l} ∠CQP=∠CEP,\\ ∠QCP=∠ECP,\\ CP=CP,\end{array}\right.$
∴△CQP≌△CEP(AAS)，
∴EP=QP，
∵FP=QP，
∴EP=FP，
∴△EFP是等腰三角形.

变式 3 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$ 平分 $\angle BAC$,$E$ 是 $BC$ 上一点,$BE = CD$,$EF // AD$ 交 $AB$ 于点 $F$,交 $CA$ 的延长线于点 $P$,$CH // AB$ 交 $AD$ 的延长线于点 $H$。
(1) 求证：$\triangle APF$ 是等腰三角形。
(2) 猜想 $AB$ 与 $PC$ 的大小有什么关系？证明你的猜想。

答案：
(1)如图，
∵EF//AD，
∴∠1=∠4，∠2=∠P.
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠P，
∴AF=AP，即△APF是等腰三角形.
(2)AB=PC.证明：
∵CH//AB，
∴∠5=∠B，∠H=∠1.
∵EF//AD，
∴∠1=∠3，
∴∠H=∠3.在△CDH和△BEF中，∠5=∠B，
∵{∠H=∠3，
∴△CDH≌△BEF(AAS)，CD=BE，
∴CH=BF.
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠H，
∴AC=CH，
∴AC=BF.
∵AB=AF+BF，PC=AP+AC，
∴AB=PC.