《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例 2 (浙江自主招生)已知：如图,在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 为 $BC$ 边上一点,若 $\angle ABC = 45^{\circ}$,$\angle ADC = 60^{\circ}$,$CD = 2BD$,求 $\angle ACB$ 的度数。
点拨 过点 $A$ 作 $AE \perp BC$ 于点 $E$,在 $AE$ 上取点 $F$,连接 $CF$,使得 $\angle CFE = 30^{\circ}$,设 $DE = x$,推出 $CF = AF$,即可得到 $\angle ACB$ 的度数。

答案：
如图,过点A作AE⊥BC于点E,在AE上取点F,连接CF,使得∠CFE=30°.
设DE=x,
∵∠ABE=45°,∠ADE=60°,
∴AE=$\sqrt{3}$x,BE=AE=$\sqrt{3}$x,BD=($\sqrt{3}$−1)x,
∴CD=2BD=2($\sqrt{3}$−1)x,
∴CE=CD−DE=(2$\sqrt{3}$−3)x,
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{\sqrt{3}x}{(2\sqrt{3}-3)x}$=2+$\sqrt{3}$,
即AE=(2+$\sqrt{3}$)CE.又
∵在Rt△CEF中,EF=$\sqrt{3}$CE,CF=2CE,
∴AF=2CE=CF,
∴∠FAC=∠FCA=$\frac{1}{2}$∠CFE=15°,
∴∠ACB=∠ACF+∠ECF=15°+60°=75°.

变式 2 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,$AD \perp BC$ 于点 $D$,$P$ 是 $AB$ 边上任意一点(点 $P$ 可以与点 $A$ 重合,但不与点 $B$ 重合),过点 $P$ 作 $PE \perp BC$,垂足为 $E$,过点 $E$ 作 $EF \perp AC$,垂足为 $F$。
(1) 求证：$2BD = 2CF + BE$；
(2) 若 $AB = 4$,过点 $F$ 作 $FQ \perp AB$,垂足为 $Q$,$PQ = 1$,求 $BP$ 的长。

答案：

(1)
∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,
∴BC=2BD,∠C=60°.
∵EF⊥AC,
∴∠EFC=90°,
∴∠FEC=30°,
∴EC=2FC.
∵BC=BE+EC,
∴2BD=2CF+BE.
(2)如图①,过点F作FQ⊥AB于点Q,设PB=x,
∵PE⊥BC,∠B=60°,
∴BE=$\frac{1}{2}$x,CE=4−$\frac{1}{2}$x.
∵EF⊥AC,∠C=60°,
∴CF=$\frac{1}{2}$CE=2−$\frac{1}{4}$x,
∴AF=4−CF=2+$\frac{1}{4}$x.
∵∠BAC=60°,FQ⊥AB,
∴AQ=$\frac{1}{2}$AF=1+$\frac{1}{8}$x,
∴x+1+$\frac{1}{8}$x=4,
∴x=$\frac{16}{9}$,
∴PB=$\frac{16}{9}$.如图②,同理可得AQ=1+$\frac{1}{8}$x,
∴BP+AQ−PQ=AB,即x+1+$\frac{1}{8}$x−1=4,解得x=$\frac{32}{9}$,
∴PB=$\frac{32}{9}$.综上,PB=$\frac{16}{9}$或PB=$\frac{32}{9}$.

1. (扬州中考)如图,已知 $\angle AOB = 60^{\circ}$,点 $P$ 在边 $OA$ 上,$OP = 12$,点 $M$,$N$ 在边 $OB$ 上,$PM = PN$,若 $MN = 2$,则 $OM = $(C)

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： C

2. (龙岩自主招生)在四边形 $ABCD$ 中,$BC = 8$,$CD = 1$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,$\angle BCD = 60^{\circ}$,如果 $S_{四边形ABCD} = \dfrac{13\sqrt{3}}{2}$,则 $AB$ 的值为(C)
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$

答案： C

3. 在 $\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AC = \sqrt{3}$,$AB = 4$,$D$ 为边 $BC$ 上一点,$\angle CAD = 30^{\circ}$,则 $AD$ 的长为(C)
A.$\dfrac{6}{5}$
B.$\dfrac{7}{5}$
C.$\dfrac{8}{5}$
D.$\dfrac{9}{5}$

答案： C