《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例 某服装店准备购进甲、乙两种服装出售,甲种每件售价 120 元,乙种每件售价 90 元.每件甲服装的进价比乙服装的进价贵 20 元,购进 3 件甲服装的费用和购进 4 件乙服装的费用相等,现计划购进两种服装共 100 件,其中甲种服装不少于 65 件.
(1) 甲种服装进价为多少元/件？乙种服装进价为多少元/件？
(2) 若购进这 100 件服装的费用不得超过 7500 元.
①甲种服装最多购进多少件？
②该服装店对甲种服装每件降价 $ a(0 ＜ a ＜ 20) $ 元,乙种服装价格不变,如果这 100 件服装都可售完,那么该服装店如何进货才能获得最大利润？
点拨 (1) 列方程组解答；(2) ①列出不等式组解答；②针对 $ a $ 的不同取值范围分别进行讨论.

答案： （1）设甲种服装进价为x元/件,乙种服装进价为y元/件,根据题意得{x=y+20,3x=4y,解得{x=80,y=60,即甲种服装进价为80元/件,乙种服装进价为60元/件.
(2)①设甲种服装购进m件,则乙种服装购进(100-m)件,根据题意得{m≥65,80m+60(100-m)≤7500,解得65≤m≤75,
∴甲种服装最多购进75件.
②设总利润为w元,购进甲种服装m件,则w=(120-80-a)m+(90-60)(100-m)=(10-a)m+3000,且65≤m≤75,当0＜a＜10时,10-a＞0,
∴w随m的增大而增大,故当m=75时,w有最大值,即购进甲种服装75件,乙种服装25件.当a=10时,所有进货方案利润相同.当10＜a＜20时,10-a＜0,
∴w随m的增大而减少,故当m=65时,w有最大值,即购进甲种服装65件,乙种服装35件.

变式 (南通中考) $ A $,$ B $ 两家超市平时以同样的价格出售相同的商品.暑假期间两家超市都进行促销活动,促销方式如下：
$ A $ 超市：一次购物不超过 300 元的打 9 折,超过 300 元后的价格部分打 7 折；
$ B $ 超市：一次购物不超过 100 元的按原价,超过 100 元后的价格部分打 8 折.
例如：一次购物的商品原价为 500 元,去 $ A $ 超市的购物金额为：$ 300×0.9+(500 - 300)×0.7 = 410 $ (元)；去 $ B $ 超市的购物金额为：$ 100+(500 - 100)×0.8 = 420 $ (元).
(1) 设商品原价为 $ x $ 元,购物金额为 $ y $ 元,分别就两家超市的促销方式写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式；
(2) 促销期间,若小刚一次购物的商品原价超过 200 元,他去哪家超市购物更省钱？请说明理由.

答案： （1）由题意可得,当x≤300时,yA=0.9x;当x＞300时,yA=0.9×300+0.7(x-300)=0.7x+60,故yA={0.9x(x≤300),0.7x+60(x＞300);当x＞100时,yB=100+0.8(x-100)=0.8x+20,故yB={x(x≤100),0.8x+20(x＞100).
(2)由题意得,0.9x＞0.8x+20,解得x＞200,
∴当200＜x≤300时,到B超市购物更省钱;0.7x+60＞0.8x+20,解得x＜400,
∴300＜x＜400时,到B超市购物更省钱;0.7x+60=0.8x+20,解得x=400,
∴当x=400时,到两家超市购物所付金额一样;0.7x+60＜0.8x+20,解得x＞400,
∴当x＞400时,到A超市购物更省钱.综上所述,当200＜x＜400时,到B超市购物更省钱;当x=400时,到两家超市购物所付金额一样;当x＞400时,到A超市购物更省钱.