《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

变式 4 (重庆中考)若关于$x的一元一次不等式组\begin{cases}\dfrac{x + 3}{2}\leq4,\\2x - a\geq2,\end{cases} $至少有 2 个整数解,且关于$y的分式方程\dfrac{a - 1}{y - 2}+\dfrac{4}{2 - y}= 2$有非负整数解,则所有满足条件的整数$a$的值之和是4.

答案： 4

例 5 (全国“希望杯”竞赛)甲、乙两车在$A,B$两城连续地往返行驶.甲车从$A$城出发,乙车从$B$城出发,且比甲车早出发 1 小时,两车在途中分别距离$A,B$两城 200 千米和 240 千米的$C$处第一次相遇.相遇后,乙车改为按甲车的速度行驶,而甲车却提速了,之后两车又在$C$处第二次相遇.之后如果甲车再提速 5 千米/时,乙车再提速 50 千米/时,那么两车在$C$处再次相遇,求乙车出发时的速度.
点拨 可设甲车初始速度为$x$千米/时,甲车先提速了$y$千米/时,进而根据时间的等量关系得到相应的方程列方程组求解,进而得到乙车出发时的速度.

答案： 设甲车初始速度为 x 千米/时，甲车先提速了 y 千米/时，则由后 2 次相遇于 C 得 $\left\{\begin{array}{l} \frac{2×200}{x}=\frac{2×240}{x+y},\\ \frac{2×200}{x+y+5}=\frac{2×240}{x+50},\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} x=100,\\ y=20,\end{array}\right.$
第 1 次相遇于 C 时 $200÷100=2$（小时），
$240÷(2+1)=80$（千米/时）．
故乙车出发时的速度为 80 千米/时．

变式 5 某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯,匀速向上行驶,一男孩和一女孩同时从自动扶梯走到二楼(扶梯行驶,两人也走梯).如果两人上梯的速度都是匀速的,每次只跨$_{1}$级,且男孩每分钟走动的级数是女孩的$_{2}$倍.已知男孩走了$_{27}$级到达扶梯顶部,而女孩走了$_{18}$级到达顶部.
(1)扶梯露在外面的部分有多少级?
(2)现扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯道,台阶的级数与自动扶梯的级数相等,两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯,到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离).求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶?

答案： （1）设女孩上梯速度为 x 级/分，自动扶梯的速度为 y 级/分，扶梯露在外面的部分有 S 级，则男孩上梯的速度为 2x 级/分．
由题意，有 $\left\{\begin{array}{l} \frac{27}{2x}=\frac{S-27}{y},\\ \frac{18}{x}=\frac{S-18}{y},\end{array}\right.$ 解得 $S=54$．
答：扶梯露在外面的部分有 54 级．
（2）设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯 m 遍，走过楼梯 n 遍，则女孩走过自动扶梯 $(m-1)$ 遍，走过楼梯 $(n-1)$ 遍．
由题意，有 $\frac{54m}{y+2x}+\frac{54n}{2x}=\frac{54(m-1)}{y+x}+\frac{54(n-1)}{x}$．
由（1）中可求得 $y=2x$，代入上面方程化简得 $6n+m=16$．
∵无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m，n 中一定有一个是正整数，且 $0＜|m-n|≤1$，
经试验可知只有 $m=3$，$n=2\frac{1}{6}$ 符合要求，
∴$3×27+2\frac{1}{6}×54=198$（级）．
答：男孩第一次追上女孩时走了 198 级台阶．