《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例 2 如图所示,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E,F,连接 EF,EF 与 AD 交于点 G,求证：AD 垂直平分 EF。
点拨 求出 DE = DF,∠AED = ∠AFD = 90°,根据 HL 证 Rt△AED ≌ Rt△AFD,推出 AE = AF,根据等腰三角形性质推出即可。

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答案：
∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°.在Rt△AED和Rt△AFD中,$\begin{cases}AD = AD, \\ DE = DF, \end{cases}$
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),
∴AE=AF;
∵AD是∠BAC的平分线,
∴AD垂直平分EF.

例 3 如图,在△ABC 中,边 AB,AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D,E。
(1) 若 BC = 10,则△ADE 的周长为10；
(2) 设直线 DM,EN 交于点 O。
①试判断点 O 是否在 BC 的垂直平分线上,并说明理由；②若∠BAC = 100°,求∠BOC 的度数。
点拨 (1) 根据垂直平分线的性质求解；(2) ①连接 AO,BO,CO,根据线段垂直平分线的判定即可得到结论；②根据四边形的内角和及等腰三角形的性质即可得到结论。

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答案：
(1)10　解析:
∵边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,
∴AD=BD,AE=CE,
∴$C_{\triangle ADE}=AD + DE + AE = BD + DE + CE = BC = 10$.
(2)①点O在BC的垂直平分线上.理由:如图,连接AO,BO,CO,
∵DM,EN分别是AB,AC的垂直平分线,
∴AO=BO,OA=OC,
∴OB=OC,
∴点O在BC的垂直平分线上.
②
∵OM⊥AB,ON⊥AC,
∴∠AMO=∠ANO=90°.
∵∠BAC=100°,
∴∠MON=360°−90°−90°−100°=80°,
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=2∠AOM+2∠AON=2∠MON=160°.

变式 3 如图①,在△ABC 中,AB = AC,点 D 在 AB 上,且 AD = CD = BC。
(1) ∠A = 36°。
(2) 如图②,DE⊥AC 于点 E,DF⊥BC 于点 F,连接 EF 交 CD 于点 H。
①求证：CD 垂直平分 EF；②直接写出三条线段 AE,DB,BF 之间的数量关系。
点拨 (1) 设∠A = x,由等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解；(2) ①证△DEC ≌ △DFC(AAS),再证△DEH ≌ △DFH(SAS),即可得出结论；②在 CA 上截取 CG = CB,连接 DG,证明△DEG ≌ △DFB(SAS),即可得出结论。

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答案：
(1)36°　解析:设∠A=x.
∵AD=CD,
∴∠ACD=∠A=x.
∵CD=BC,
∴∠CBD=∠CDB=∠ACD+∠A=2x.
∵AC=AB,
∴∠ACB=∠CBD=2x,
∴x+2x+2x=180°,
∴x=36°,
∴∠A=36°.
(2)①由
(1)得,∠ACD=∠A=x,∠DCB=x,
∴∠ACD=∠DCB.
∵DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠DEC=∠DFC=90°.
∵CD=CD,
∴△DEC≌△DFC(AAS),
∴DE=DF,∠EDH=∠FDH.
∵DH=DH,
∴△DEH≌△DFH(SAS),
∴EH=FH,∠DHE=∠DHF=90°,
∴CD垂直平分EF.
②三条线段AE,DB,BF之间的数量关系为AE=DB+BF.解析:在CA上截取CG=CB,连接DG，如图所示.
由①得△DEC≌△DFC,
∴DE=DF,CE=CF.
∵CG=CB,
∴CG−CE=CB−CF,即GE=BF.
∵DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠DEG=∠DFB=90°,
∴△DEG≌△DFB(SAS),
∴DG=DB,∠DGE=∠B.
由
(1)得∠B=2x,∠A=x,
∴∠DGE=2∠A.
∵∠DGE=∠A+∠GDA,
∴∠A=∠GDA,
∴AG=DG,
∴AE=AG+GE=DG+BF=DB+BF.