《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例 2 已知$2x = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$,求$\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$的值。
点拨 由已知可得$x = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$,$x^2 = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$,为了计算简便,把$\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$先平方,代入化简后,再开方即可。
变式 2 若$a ＞ 0$,$b ＞ 0$,且$\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = 3\sqrt{b}(\sqrt{a} + 5\sqrt{b})$,求$\frac{2a + 3b + \sqrt{ab}}{a - b + \sqrt{ab}}$的值。

答案： 例2
∵$2x=\sqrt{2 - \sqrt{3}}$，
∴$x=\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$，
∴$x^{2}=\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$，
∴$1 - x^{2}=\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$，
∴$(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}+\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x})^{2}=\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}+\frac{1 - x^{2}}{x^{2}}+2=\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}+\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}+2=\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}+\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}+2=\frac{(2 - \sqrt{3})^{2}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}+\frac{(2 + \sqrt{3})^{2}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}+2=7 - 4\sqrt{3}+7 + 4\sqrt{3}+2=16$，
∴$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}+\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}=\sqrt{16}=4$
变式2　由已知条件，得$a - 2\sqrt{ab}-15b = 0$，即$(\sqrt{a}-5\sqrt{b})(\sqrt{a}+3\sqrt{b}) = 0$
∵$a＞0$，$b＞0$，
∴$\sqrt{a}-5\sqrt{b}=0$，解得$a = 25b$
∴原式=$\frac{2×25b + 3b+\sqrt{25b^{2}}}{25b - b+\sqrt{25b^{2}}}=\frac{58b}{29b}=2$

例 3 整体代入法：对这样一道题目：已知$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$,求代数式$x^3 - 2x + 1$的值。小李给出了如下解法：
由$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$,有$x^2 = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = x + 1$,故$x^3 - 2x + 1 = x \cdot x^2 - 2x + 1 = x(x + 1) - 2x + 1 = x^2 - x + 1 = 2$。
请你求解下面的问题：
已知$x = \sqrt{19 - 8\sqrt{3}}$,求代数式$\frac{x^4 - 6x^3 - 2x^2 + 18x + 23}{x^2 - 8x + 15}$的值。
点拨 直接将已知变形得出$x^2 - 8x + 13 = 0$,再将原式变形求值。

答案：
∵$x=\sqrt{19 - 8\sqrt{3}}=\sqrt{16 - 8\sqrt{3}+3}=\sqrt{(4 - \sqrt{3})^{2}}=4 - \sqrt{3}$
∴$(x - 4)^{2}=3$，
∴$x^{2}-8x + 13 = 0$
∴$\frac{x^{4}-6x^{3}-2x^{2}+18x + 23}{x^{2}-8x + 15}=\frac{(x^{4}-8x^{3}+13x^{2})+(2x^{3}-16x^{2}+26x)+(x^{2}-8x + 13)+10}{x^{2}-8x + 13+2}=\frac{x^{2}(x^{2}-8x + 13)+2x(x^{2}-8x + 13)+(x^{2}-8x + 13)+10}{2}=\frac{10}{2}=5$