《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例 5 如图,$AE$ 与 $BD$ 相交于点 $C$,$AC = EC$,$BC = DC$,$AB = 4\ cm$,点 $P$ 从点 $A$ 出发,沿 $A\to B\to A$ 方向以 $3\ cm/s$ 的速度运动,点 $Q$ 从点 $D$ 出发,沿 $D\to E$ 方向以 $1\ cm/s$ 的速度运动,$P$,$Q$ 两点同时出发。当点 $P$ 到达点 $A$ 时,$P$,$Q$ 两点同时停止运动。设点 $P$ 的运动时间为 $t(s)$。连接 $PQ$,当线段 $PQ$ 经过点 $C$ 时,$t$ 的值为______1或2。
点拨 先证 $\triangle ACP\cong\triangle ECQ(ASA)$,得 $AP = EQ$,再分两种情况：①当 $0\leq t\leq\frac{4}{3}$ 时,②当 $\frac{4}{3}\lt t\leq\frac{8}{3}$ 时,进行分类讨论。

答案： 1或2

变式 5 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 6$,$BC = 8$。点 $P$ 从 $A$ 点出发沿 $A\to C\to B$ 路径向终点运动,终点为 $B$ 点；点 $Q$ 从 $B$ 点出发沿 $B\to C\to A$ 路径向终点运动,终点为 $A$ 点。点 $P$ 和 $Q$ 分别以每秒 $1$ 和 $3$ 的运动速度同时开始运动,两点都要到相应的终点时才能停止运动,在某时刻,分别过 $P$ 和 $Q$ 作 $PE\perp l$ 于 $E$、作 $QF\perp l$ 于 $F$,当点 $P$ 运动______秒时,以 $P$,$E$,$C$ 为顶点的三角形和以 $Q$,$F$,$C$ 为顶点的三角形全等。

1或7/2或12

答案： 1或7/2或12

例 6 从特殊到一般的探究性问题：在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$D$ 是直线 $BC$ 上一点,连接 $AD$,以 $AD$ 为一条边在 $AD$ 的右侧作 $\triangle ADE$,使 $AE = AD$,$\angle DAE= \angle BAC$,连接 $CE$。
(1)如图,当点 $D$ 在 $BC$ 延长线上移动时,若 $\angle BAC = 26^{\circ}$,则 $\angle DCE= $26°。
(2)设 $\angle BAC= \alpha$,$\angle DCE= \beta$。
①当点 $D$ 在 $BC$ 延长线上移动时,$\alpha$ 与 $\beta$ 之间有什么数量关系？请说明理由。
②当点 $D$ 在直线 $BC$ 上(不与 $B$,$C$ 两点重合)移动时,$\alpha$ 与 $\beta$ 之间有什么数量关系？请直接写出你的结论。
点拨 证明 $\triangle BAD\cong\triangle CAE$,即可解决第 (1) 问；(2)①仿照第 (1) 问解决；②分三种情况：(Ⅰ) 当点 $D$ 在线段 $BC$ 上时；(Ⅱ) 当点 $D$ 在线段 $BC$ 的反向延长线上时；(Ⅲ) 当点 $D$ 在线段 $BC$ 的延长线上时。分别进行探讨。

答案：
(1)26°　　解析:如图①所示.
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,}
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ACE=∠ABD.
∵∠ACD=∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠DCE,
∴∠BAC=∠DCE.
∵∠BAC=26°,
∴∠DCE=26°.故答案为26°.
(2)①当点D在BC的延长线上移动时,α与β之间的数量关系是α=β.理由如下:由
(1)知△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE.
∵∠ACD=∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠DCE,
∴∠BAC=∠DCE.
∵∠BAC=α,∠DCE=β,
∴α=β.②α=β或α+β=180°.　解析:分三种情况:(Ⅰ)当点D在线段BC上时; (Ⅱ)当点D在线段BC的反向延长线上时; (Ⅲ)当点D在线段BC的延长线上时。综上所述,当点D在直线BC上移动时,α=β或α+β=180°.