《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

10. (宁波自主招生)如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AC$,$BD$ 是对角线,$\triangle ABC$ 是等边三角形。$\angle ADC = 30^{\circ}$,$AD = 3$,$BD = 5$,则 $CD$ 的长为(B)

A.$3\sqrt{2}$
B.$4$
C.$2\sqrt{5}$
D.$4.5$

答案： B

11. 如图,$E$ 是线段 $AB$ 上一点,$\triangle ADE$ 和 $\triangle BCE$ 是位于直线 $AB$ 同侧的两个等边三角形,点 $P$,$F$ 分别是 $CD$,$AB$ 的中点。若 $AB = 4$,则下列结论错误的是(A)

A.$PA + PB$ 的最小值为 $3\sqrt{3}$
B.$PE + PF$ 的最小值为 $2\sqrt{3}$
C.$\triangle CDE$ 周长的最小值为 $6$
D.四边形 $ABCD$ 面积的最小值为 $3\sqrt{3}$

答案： A

12. (宁波自主招生)如图,平面直角坐标系内,等边三角形 $ABC$ 的顶点 $B$,$C$ 的坐标分别为 $(1,0)$,$(3,0)$,过坐标原点 $O$ 的一条直线分别与边 $AB$,$AC$ 交于点 $M$,$N$,若 $OM = MN$,则点 $M$ 的坐标为______$\left(\frac{5}{4},\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$。

答案： $\left(\frac{5}{4},\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$

13. (蚌埠自主招生)如图,$\triangle ABC$ 是边长为 $12$ 的等边三角形,$P$ 是 $\triangle ABC$ 内一点,过点 $P$ 分别作边 $BC$,$CA$,$AB$ 的垂线,垂足分别为 $D$,$E$,$F$。已知 $PD:PE:PF = 1:2:3$,那么四边形 $BDPF$ 的面积是______$11\sqrt{3}$。

答案： $11\sqrt{3}$

14. (全国初中数学竞赛)如图,凸六边形 $ABCDEF$ 的各个内角相等,$AF = 6$,$AB = 2$,$CD = 4$,$EF = 1$,则六边形 $ABCDEF$ 的周长为20。

答案： 20

15. (景德镇自主招生)如图,$\triangle ABC$ 为等边三角形,在 $BC$ 边上取点 $M$,使 $BM= \frac{1}{4}BC$,在 $AB$ 上取点 $N$,使 $BN= \frac{1}{4}AB$,$P_1$,$P_2$,$P_3$ 依次为 $AC$ 上三个四等分点,则 $\angle MP_1N + \angle MP_2N + \angle MP_3N= $60°。

答案： 60°

16. 已知：如图,等边三角形 $ABC$ 的边长为 $a$,$P$ 为其内任意一点,$PD\perp AB$ 于点 $D$,$PE\perp BC$ 于点 $E$,$PF\perp AC$ 于点 $F$。
求证：(1) $PD + PE + PF= \frac{\sqrt{3}}{2}a$；
(2) $AD + BE + CF= \frac{3}{2}a$；
(3) $S_{\triangle PBD} + S_{\triangle PCE} + S_{\triangle PAF}= \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}= \frac{\sqrt{3}}{8}a^2$；
(4) $AD^2 + BE^2 + CF^2 = BD^2 + CE^2 + AF^2$。

答案：
(1)如图,连接PA,PB,PC,过点A作AH⊥BC于点H,
∵S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC,
∴$\frac{1}{2}$AB·PD+$\frac{1}{2}$BC·PE+$\frac{1}{2}$AC·PF=$\frac{1}{2}$CB·AH.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,
∴$\frac{1}{2}$AB(PE+PF+PD)=$\frac{1}{2}$CB·AH,
∴PD+PE+PF=AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a.
(2)如图,连接PA,PB,PC,
∵PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,
∴PB²=PE²+BE²,PC²=PE²+CE²,
∴PB² - PC²=BE² - CE²,同理,PC² - PA²=CF² - AF²,PA² - PB²=AD² - BD²,将上述三式相加得0=BE² - CE²+CF² - AF²+AD² - BD²=(BE+CE)(BE - CE)+(CF+AF)(CF - AF)+(AD+BD)(AD - BD)=a(BE - CE+CF - AF+AD - BD),
∴BE - CE+CF - AF+AD - BD=0,
∴AD+BE+CF=CE+AF+BD=$\frac{1}{2}$C△ABC=$\frac{3}{2}$a.
(3)如图,过点P分别作△ABC各边的平行线交AB于点R,G,交AC于点I,T,交BC于点S,H,连接PA,PB,PC.则△PRG,△PSH,△IPT是等边三角形.
∵PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,
∴S△PDG=S△PDR,同理,S△PBG=S△PBS,S△PEH=S△PES,S△PCH=S△PCT,S△PFI=S△PFT,S△PAI=S△PAR,
∴S△PBD+S△PCE+S△PAF=S△PAD+S△PBE+S△PCF=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{8}$a².
(4)如图,连接PA,PB,PC,
∵PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,
∴AD²=PA² - PD²,BE²=PB² - PE²,CF²=PC² - PF²,BD²=PB² - PD²,CE²=PC² - PE²,AF²=PA² - PF²,
∴AD²+BE²+CF²=BD²+CE²+AF².