《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

1. (北京中考)正十二边形的外角和为(C)
A.$30^{\circ}$
B.$150^{\circ}$
C.$360^{\circ}$
D.$1800^{\circ}$

答案： C

2. (枣庄中考)如图,一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上,若 $\angle1 = 44^{\circ}$,则 $\angle2$ 的度数为(B)

A.$14^{\circ}$
B.$16^{\circ}$
C.$24^{\circ}$
D.$26^{\circ}$

答案： B

3. (雅安中考)如图,六边形 $ABCDEF$ 为正六边形,四边形 $ABGH$ 为正方形,连接 $CG$,则 $\angle BCG+\angle BGC = $$30^{\circ}$.

答案： $30^{\circ}$

4. (烟台中考)一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为 $720^{\circ}$,那么原多边形的边数为5或6或7.

答案： 5或6或7

5. 如图所示的图形是一个轴对称图形,经过点 $A_1$,$A_5$ 的直线是它的对称轴,已知 $\angle A_2= \angle A_8 = 90^{\circ}$,$\angle A_3= \angle A_4= \angle A_5= \angle A_6= \angle A_7 = 135^{\circ}$,如果把大于平角的角称为“优角”,求优角 $\angle A_1$ 的度数.

答案： $225^{\circ}$ 解析:如图所示,作对称轴$A_{1}A_{5}$,
∵经过点$A_{1}$,$A_{5}$的直线是它的对称轴，已知$\angle A_{2}=\angle A_{8}=90^{\circ}$,$\angle A_{3}=\angle A_{4}=\angle A_{5}=\angle A_{6}=\angle A_{7}=135^{\circ}$,
∴$\angle A_{1}A_{5}A_{4}=\frac{1}{2}×135^{\circ}=67.5^{\circ}$,"优角$\angle A_{2}A_{1}A_{8}$"=$2×[(5 - 2)×180^{\circ}-90^{\circ}-2×135^{\circ}-67.5^{\circ}]=225^{\circ}$.

6. (河北中考改编)(1)如图①,平面上,将边长相等的正三角形、正方形的一边重合并叠在一起,则 $\angle1= $$30^{\circ}$.
(2)如图②,平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,则 $\angle1-\angle2+\angle3= $$24^{\circ}$.
(3)如图③,平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形……正 $(n + 3)$ 边形的一边重合并叠在一起,每个正 $(k + 3)$ 边形与正 $(k + 2)$ 边形的重合边的同一侧的邻边的夹角为 $\angle k$,试说明 $\angle1-\angle2+\angle3-\angle4+…+\angle(n - 1)-\angle n$ 的大小不会小于 $12^{\circ}$($n$ 是偶数).

正$n$边形的每个内角为$\frac{(n - 2)×180^{\circ}}{n}=180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n}$,从而对于不超过$n$的自然数$k$,$\angle k=(180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{k + 3})-(180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{k + 2})=360^{\circ}×(\frac{1}{k + 2}-\frac{1}{k + 3})$,从而$\angle1-\angle2+\angle3-\angle4+\cdots+\angle(n - 1)-\angle n=360^{\circ}×[(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})-\cdots-(\frac{1}{n + 2}-\frac{1}{n + 3})]$ 首先注意到$360^{\circ}×[(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})]=12^{\circ}$.而$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})-(\frac{1}{n + 1}-\frac{1}{n + 2})=2(n + 1)[\frac{1}{n(n + 2)}-\frac{1}{(n + 1)^{2}}]=\frac{2}{n(n + 1)(n + 2)}＞0$,从而$360^{\circ}×[(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})-\cdots-(\frac{1}{n + 2}-\frac{1}{n + 3})]＞360^{\circ}×[(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})]=12^{\circ}$.所以$\angle1-\angle2+\angle3-\angle4+\cdots+\angle(n - 1)-\angle n$的大小不会小于$12^{\circ}$.

答案：
(1)$30^{\circ}$
(2)$24^{\circ}$
(3)正$n$边形的每个内角为$\frac{(n - 2)×180^{\circ}}{n}=180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n}$,从而对于不超过$n$的自然数$k$,$\angle k=(180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{k + 3})-(180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{k + 2})=360^{\circ}×(\frac{1}{k + 2}-\frac{1}{k + 3})$,从而$\angle1-\angle2+\angle3-\angle4+\cdots+\angle(n - 1)-\angle n=360^{\circ}×[(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})-\cdots-(\frac{1}{n + 2}-\frac{1}{n + 3})]$ 首先注意到$360^{\circ}×[(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})]=12^{\circ}$.而$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})-(\frac{1}{n + 1}-\frac{1}{n + 2})=2(n + 1)[\frac{1}{n(n + 2)}-\frac{1}{(n + 1)^{2}}]=\frac{2}{n(n + 1)(n + 2)}＞0$,从而$360^{\circ}×[(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})-\cdots-(\frac{1}{n + 2}-\frac{1}{n + 3})]＞360^{\circ}×[(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})]=12^{\circ}$.所以$\angle1-\angle2+\angle3-\angle4+\cdots+\angle(n - 1)-\angle n$的大小不会小于$12^{\circ}$.