《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例 2 如图,$AB = AC$,$E$,$D$ 分别是 $AB$,$AC$ 的中点,$AF\perp BD$,垂足为 $F$,$AG\perp CE$,垂足为 $G$,试判断 $AF$ 与 $AG$ 的数量关系,并说明理由。
点拨 先证明 $\triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS)$,推出 $\angle ABD= \angle ACE$,再证明 $\triangle ABF\cong\triangle ACG(AAS)$ 即可解决问题。

答案： 结论:AF=AG.理由:
∵AB=AC,E,D分别是AB,AC的中点,
∴AD=1/2AC=1/2AB=AE.在△ABD和△ACE中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,}
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE.
∵AF⊥BD,AG⊥CE,
∴∠AFB=∠AGC=90°.在△ABF和△ACG中,{∠AFB=∠AGC,∠ABF=∠ACG,AB=AC,}
∴△ABF≌△ACG(AAS),
∴AF=AG.一题多解结论:AF=AG.理由:
∵AB=AC,E、D分别是AB,AC的中点,
∴AD=1/2AC=1/2AB=AE.在△ABD和△ACE中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,}
∴△ABD≌△ACE(SAS),由全等三角形的对应高相等，可得AF=AG.

变式 2 如图,$AB = BC$,$\angle BAD= \angle BCD = 90^{\circ}$,点 $D$ 是 $EF$ 上一点,$AE\perp EF$ 于点 $E$,$CF\perp EF$ 于点 $F$,$AE = CF$,连接 $BD$,求证：$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle CDF$。

答案：
∵∠BAD=∠BCD=90°,在Rt△ABD和Rt△CBD中,{BD=BD,AB=CB,}
∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL),
∴AD=CD.
∵AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,
∴∠E=∠F=90°.在Rt△ADE和Rt△CDF中,{AD=CD,AE=CF,}
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).

例 3 如图,$BM$,$CN$ 分别是钝角 $\triangle ABC$ 的高,点 $Q$ 是射线 $CN$ 上的点,点 $P$ 在线段 $BM$ 上,且 $BP = AC$,$CQ = AB$,请问 $AP$ 与 $AQ$ 有什么样的关系？请说明理由。
点拨 根据等角的余角相等得出 $\angle ABP= \angle ACQ$,即可利用 $SAS$ 证明 $\triangle ACQ\cong\triangle PBA$,再根据全等三角形的性质即可得解。

答案： AP=AQ且AP⊥AQ.理由如下:
∵BM⊥AC,CN⊥AB,
∴∠ABP+∠BAM=∠ACQ+∠CAN=90°.又∠BAM=∠CAN,
∴∠ABP=∠ACQ.在△ACQ和△PBA中,{AC=PB,∠ACQ=∠PBA,QC=AB,}
∴△ACQ≌△PBA(SAS),
∴AP=AQ,∠Q=∠PAB.
∵∠Q+∠NAQ=90°,
∴∠PAB+∠NAQ=90°,
∴∠QAP=90°,
∴AP⊥AQ.综上,AP=AQ且AP⊥AQ.