《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例 2 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 在 $ BC $ 边上,$ \angle BAD = 100° $,$ \angle ABC $ 的平分线交 $ AC $ 于点 $ E $,过点 $ E $ 作 $ EF \perp AB $,垂足为 $ F $,且 $ \angle AEF = 50° $,连接 $ DE $。
(1) $ \angle CAD $ 的度数为40°；
(2) 求证：$ DE $ 平分 $ \angle ADC $；
(3) 若 $ AB = 7 $,$ AD = 4 $,$ CD = 8 $,且 $ S_{\triangle ACD} = 15 $,求 $ \triangle ABE $ 的面积。
点拨 (1) 利用直角三角形中两锐角互余可求出 $ \angle FAE $ 的度数,然后根据 $ \angle CAD = 180° - \angle BAD - \angle FAE $ 即可求出 $ \angle CAD $ 的度数；
(2) 过点 $ E $ 作 $ EG \perp AD $ 于点 $ G $,$ EH \perp BC $ 于点 $ H $,根据角平分线的性质及判定进行证明；

(3) 利用等面积法进行求解。

答案：
(1)40°　解析:
∵EF⊥AB,∠AEF=50°,
∴∠FAE=90°−50°=40°.
∵∠BAD=100°,
∴∠CAD=180°−100°−40°=40°.
(2)过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H,如图.
∵∠FAE=∠DAE=40°,EF⊥BF,EG⊥AD,
∴EF=EG.
∵BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,
∴EF=EH,
∴EG=EH.
∵EG⊥AD,EH⊥BC,
∴DE平分∠ADC.
(3)
∵S△ACD=15,
∴$\frac{1}{2}$AD·EG+$\frac{1}{2}$CD·EH=15,即$\frac{1}{2}$×4×EG+$\frac{1}{2}$×8×EG=15,解得EG=EH=$\frac{5}{2}$,
∴EF=EH=$\frac{5}{2}$,
∴△ABE的面积=$\frac{1}{2}$AB·EF=$\frac{1}{2}$×7×$\frac{5}{2}$=$\frac{35}{4}$.

变式 2 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 为 $ BC $ 边上的高,$ AE $ 是 $ \angle BAD $ 的平分线,点 $ F $ 为 $ AE $ 上一点,连接 $ BF $,$ \angle BFE = 45° $。
(1) 求证：$ BF $ 平分 $ \angle ABE $；
(2) 连接 $ CF $ 交 $ AD $ 于点 $ G $,若 $ S_{\triangle ABF} = S_{\triangle CBF} $,求证：$ \angle AFC = 90° $；
(3)7.5 在 (2) 的条件下,当 $ BE = 3 $,$ AG = 4.5 $ 时,线段 $ AB $ 的长为______。

答案：
(1)
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠BAD=2∠BAF.
∵∠BFE=45°,
∴∠FBA+∠BAF=45°,
∴2∠FBA+2∠BAF=90°.
∵AD为BC边上的高，
∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°,
∴2∠FBA=∠EBF+∠FBA,
∴∠EBF=∠FBA,
∴BF平分∠ABE.
(2)过点F作FM⊥BC于点M,FN⊥AB于点N,如图.
∵BF平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB,
∴FM=FN.
∵S△ABF=S△CBF,即$\frac{1}{2}$AB·FN=$\frac{1}{2}$BC·FM,
∴AB=BC.在△ABF和△CBF中,{BA=BC,∠ABF=∠CBF,BF=BF,
∴△ABF≌△CBF(SAS),
∴∠AFB=∠CFB.
∵∠BFE=45°,
∴∠AFB=135°,
∴∠CFB=135°,
∴∠CFE=∠CFB−∠BFE=135°−45°=90°,
∴∠AFC=90°.
(3)7.5　解析:
∵△ABF≌△CBF,
∴AF=FC.
∵∠AFC=∠ADC=90°,∠AGF=∠CGD,
∴∠FAG=∠FCE.在△AFG和△CFE中,{∠AFG=∠CFE,AF=CF,∠FAG=∠FCE,
∴△AFG≌△CFE(ASA),
∴AG=EC=4.5.
∵BE=3,
∴BC=BE+EC=7.5,
∴AB=BC=7.5.