《2025年学霸题中题八年级数学上册浙教版》

例2 (1) 在$\triangle ABC$中,$AD为\triangle ABC$的中线,$AB = 6$,$AC = 4$,则$AD$的取值范围是______。
(2) 如图,在$\triangle ABC$中,$AD为\triangle ABC$的中线,点$E在中线AD$上,且$BE = AC$,连接$BE$并延长,交$AC于点F$。求证：$AF = FE$。
点拨 (1) 延长$AD到E$,使$DE = AD$,连接$BE$,证明$\triangle ACD\cong\triangle EBD$,根据全等三角形的性质及三角形三边之间的关系求出$AE$的取值范围,即可得出结论；(2) 延长$AD到点G$,使$DG = DE$,连接$CG$。证明$\triangle BDE\cong\triangle CDG$,再由全等三角形的性质求证结论。

答案：

(1)1＜AD＜5 解析:如图①,延长AD到E,使DE=AD,连接BE,
∵AD为△ABC的中线,
∴BD=CD.在△ACD和△EBD中,AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD,
∴△ACD≌△EBD(SAS),
∴BE=AC.由三角形三边关系,得6-4＜AE＜6+4,即2＜AE＜10,
∴1＜AD＜5.故答案为1＜AD＜5.

(2)如图②,延长AD到点G,使DG=DE,连接CG,
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=DC.在△BDE和△CDG中,BD=CD,∠BDE=∠CDG,DE=DG,
∴△BDE≌△CDG(SAS),
∴BE=CG,∠BED=∠G;
∵∠AEF=∠BED,
∴∠AEF=∠G.
∵BE=AC,
∴AC=CG,
∴∠G=∠GAC,
∴∠AEF=∠EAF,
∴AF=EF.

变式2 八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你和他们一起活动吧！
【探究与发现】
(1) 如图①,$AD是\triangle ABC$的中线,延长$AD至点E$,使$ED = AD$,连接$BE$,写出图中全等的两个三角形：______。
【理解与应用】
(2) 如图②,$EP是\triangle DEF$的中线,若$EF = 5$,$DE = 3$,设$EP = x$,则$x$的取值范围是______。
(3) 已知：如图③,$AD是\triangle ABC$的中线,$\angle BAC = \angle ACB$,点$Q在BC$的延长线上,$QC = BC$,求证：$AQ = 2AD$。

答案：

(1)△ADC≌△EDB 解析:在△ADC与△EDB中,AD=DE,∠ADC=∠BDE,CD=BD,
∴△ADC≌△EDB(SAS).故答案为△ADC≌△EDB.
(2)1＜x＜4 解析:如图①,延长EP至点Q,使PQ=PE,连接FQ,在△PDE与△PFQ中,PE=PQ,∠EPD=∠QPF,PD=PF,
∴△PDE≌△PFQ(SAS),
∴FQ=DE=3.在△EFQ中,EF-FQ＜QE＜EF+FQ,即5-3＜2x＜5+3,
∴x的取值范围是1＜x＜4.故答案为1＜x＜4.
(3)如图②,延长AD到M,使MD=AD,连接BM,
∴AM=2AD.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.在△BMD与△CAD中,MD=AD,∠BDM=∠CDA,BD=CD,
∴△BMD≌△CAD(SAS),
∴BM=CA,∠M=∠CAD,
∴∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M.
∵∠ACB=∠Q+∠CAQ=∠BAC,
∴AB=BC.
∵∠ACQ=180°-(∠Q+∠CAQ),∠MBA=180°-(∠BAM+∠M),
∴∠ACQ=∠MBA.
∵QC=BC,
∴QC=AB.在△ACQ与△MBA中,CA=BM,∠ACQ=∠MBA,QC=AB,
∴△ACQ≌△MBA(SAS),
∴AQ=AM=2AD.