《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

6. 如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长为 $ 1cm $,$ \triangle ABC $ 各顶点都在格点上,点 $ A $,$ C $ 的坐标分别为 $ (-1,2) $,$ (0,-1) $。
(1)$ AC $ 的长等于 $\sqrt{10}$cm。
(2)画出将 $ \triangle ABC $ 向右平移 $ 2 $ 个单位得到的 $ \triangle A_1B_1C_1 $,点 $ A $ 的对应点 $ A_1 $ 的坐标为 (1,2)。
(3)将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ C $ 按逆时针方向旋转 $ 90^{\circ} $,画出旋转后的 $ \triangle A_2B_2C_2 $,点 $ A $ 的对应点 $ A_2 $ 的坐标为 (−3,−2)。

答案：
(1)$\sqrt{10}$cm
(2)图略　(1,2)
(3)图略　(−3,−2)

7. 在同一平面内,$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle ABD $ 如图 1 放置,其中 $ AB = BD $。小明做了如下操作：将 $ \triangle ABC $ 绕着边 $ AC $ 的中点旋转 $ 180^{\circ} $ 得到 $ \triangle CEA $,将 $ \triangle ABD $ 绕着边 $ AD $ 的中点旋转 $ 180^{\circ} $ 得到 $ \triangle DFA $,如图 2,请完成下列问题：
(1)试猜想四边形 $ ABDF $ 是什么特殊四边形,并说明理由。
(2)连接 $ EF $,$ CD $,如图 3,求证：四边形 $ CDFE $ 是平行四边形。

答案：
(1)四边形ABDF是菱形.理由如下:
∵△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA,
∴AB=DF,BD=FA.
∵AB=BD,
∴AB=BD=DF=FA.
∴四边形ABDF是菱形.
(2)
∵四边形ABDF是菱形,
∴AB//DF且AB=DF;
∵△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA,
∴AB=CE,BC=EA.
∴四边形ABCE为平行四边形
∴AB//CE且AB=CE;
∴CE//FD且CE=FD.
∴四边形CDFE是平行四边形.

8. 已知在坐标平面上的机器人接受指令“$[a,A]$”$ (a \geq 0, 0^{\circ} \lt A \lt 180^{\circ}) $ 后行动结果为：在原地顺时针旋转 $ A $ 后,再向面对方向沿直线前行 $ a $。若机器人的位置是在原点,面对方向是 $ y $ 轴的负半轴,则它完成一次指令 $[2,30^{\circ}]$ 后所在位置的坐标是(A)。
A.$ (-1,-\sqrt{3}) $
B.$ (-1,\sqrt{3}) $
C.$ (-\sqrt{3},-1) $
D.$ (\sqrt{3},-1) $

答案： A

9. 在锐角三角形 $ ABC $ 中,$ AB = 5 $,$ BC = 6 $,$ \angle ACB = 45^{\circ} $(如图),将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ B $ 按逆时针方向旋转得到 $ \triangle A'BC' $(顶点 $ A $,$ C $ 分别与 $ A' $,$ C' $ 对应),当点 $ C' $ 在线段 $ CA $ 的延长线上时,则 $ AC' $ 的长为(B)。

A.$ \sqrt{2} + \sqrt{7} $
B.$ 3\sqrt{2} - \sqrt{7} $
C.$ 3\sqrt{2} + \sqrt{7} $
D.$ 3 - \sqrt{7} $

答案： B