《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

1. 一元二次方程 $x^2 + 4x - 3 = 0$ 的两根为 $x_1$,$x_2$,则 $x_1x_2$ 的值是(D).
A.4
B.-4
C.3
D.-3

答案： D

2. 对于一元二次方程 $2x^2 - 3x + 4 = 0$,则该方程根的情况为(A).
A.没有实数根
B.两根之和是 3
C.两根之积是 -2
D.有两个不相等的实数根

答案： A

3. 若方程 $x^2 - 2x - 4 = 0$ 的两个实数根为 $\alpha$,$\beta$,则 $\alpha^2 + \beta^2$ 的值为(A).
A.12
B.10
C.4
D.-4

答案： A

4. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 - 7x + 6a = 0$ 的一个解是 $x_1 = 2a$,则原方程的另一个解是(C).
A.$x_2 = 0$ 或 7
B.$x_2 = 3$ 或 4
C.$x_2 = 3$ 或 7
D.$x_2 = 4$ 或 7

答案： C

5. 设 $x_1$,$x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2 - 3x + k = 0$ 的两个根,且 $x_1 = 2x_2$,则 $k = $ 2.

答案： 2

6. 设 $a$,$b$ 是方程 $x^2 + x - 2022 = 0$ 的两个实数根,则 $(a - 1)(b - 1)$ 的值为 -2020.

答案： -2020

7. 设 $x_1$,$x_2$ 是方程 $2x^2 + 4x - 3 = 0$ 的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
(1)$(x_1 - x_2)^2$.
(2)$(x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1})$.

答案： 根据根与系数的关系可得：$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=-\frac{3}{2}$。
(1)$(x_{1}-x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=(-2)^{2}-4×(-\frac{3}{2})=10$。
(2)$(x_{1}+\frac{1}{x_{2}})(x_{2}+\frac{1}{x_{1}})=x_{1}x_{2}+1+1+\frac{1}{x_{1}x_{2}}=(-\frac{3}{2})+2+\frac{1}{(-\frac{3}{2})}=-\frac{1}{6}$。

8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + 2x - k = 0$ 有两个不相等的实数根.
(1)求 $k$ 的取值范围.
(2)若方程的两个不相等的实数根是 $a$,$b$,求 $\frac{a}{a + 1} - \frac{1}{b + 1}$ 的值.

答案：
(1)
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta=b^{2}-4ac=4+4k＞0$，解得$k＞-1$。
∴k的取值范围为$k＞-1$。
(2)由根与系数的关系得$a+b=-2$，$ab=-k$，
∴$\frac{a}{a+1}-\frac{1}{b+1}=\frac{ab-1}{ab+a+b+1}=\frac{-k-1}{-k-2+1}=1$。