《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

12. 如图,在直角坐标系中,已知点 $P(-2,-1)$,点 $T(t,0)$ 是 $x$ 轴上的一个动点。
(1)求点 $P$ 关于原点的对称点 $P'$ 的坐标。
(2)当 $t$ 取何值时,$\triangle P'TO$ 是等腰三角形？

答案：
(1)点P关于原点的对称点$ P' $的坐标为(2,1).
(2)$ OP'=\sqrt{5} $.
①动点T在原点左侧.
当$ TO=P'O=\sqrt{5} $时，$ \triangle P'TO $是等腰三角形，
∴点$ T(-\sqrt{5},0) $.
②动点T在原点右侧.
i)当$ TO=TP' $时，$ \triangle P'TO $是等腰三角形，得$ T\left( \frac{5}{4},0 \right) $.
ii)当$ TO=P'O $时，$ \triangle P'TO $是等腰三角形，得点$ T(\sqrt{5},0) $.
iii)当$ TP'=P'O $时，$ \triangle P'TO $是等腰三角形，得点T(4,0).
综上所述，符合条件的t的值为$ -\sqrt{5},\frac{5}{4},\sqrt{5},4 $.

13. 【益阳】以下有关勾股定理证明的图形中,不是中心对称图形的是(A)。

答案： A

14. 【陕西】如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 4$,$BC = 6$,$O$ 是矩形的对称中心,点 $E$,$F$ 分别在边 $AD$,$BC$ 上,连接 $OE$,$OF$,若 $AE = BF = 2$,则 $OE + OF$ 的值为(D)。

A.$2\sqrt{2}$
B.$5\sqrt{2}$
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}$

答案： D

15. 物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心。例如一根均匀的棒,重心是棒的中点,一块均匀的三角形木板,重心就是这个三角形三条中线的交点,等等。
(1)你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由。
(2)现有如图的一块均匀模板,请只用直尺和铅笔,画出它的重心(直尺上没有刻度)。

答案：

(1)平行四边形的重心是两条对角线的交点.
理由如下：平行四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是对称中心，经过点O与一组对边相交的任何一条线段都以点O为中点，因此点O是各条线段的公共重心，也是平行四边形ABCD的重心.

(2)如图，把模板分成两个矩形，连接各自的中心.把模板重新分成两个矩形，得到连接各自中心的第二条线段，其交点G为重心.