《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

15.【遵义】在解一元二次方程 $x^2 + px + q = 0$ 时,小红看错了常数项 $q$,得到方程的两个根是 -3,1.小明看错了一次项系数 $p$,得到方程的两个根是 5,-4,则原来的方程是(B).
A.$x^2 + 2x - 3 = 0$
B.$x^2 + 2x - 20 = 0$
C.$x^2 - 2x - 20 = 0$
D.$x^2 - 2x - 3 = 0$

答案： B

16.【黄石】已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + 2mx + m^2 + m = 0$ 有实数根.
(1)求 $m$ 的取值范围.
(2)若该方程的两个实数根分别为 $x_1$,$x_2$,且 $x_1^2 + x_2^2 = 12$,求 $m$ 的值.

答案：
(1)根据题意得$\Delta=(2m)^{2}-4(m^{2}+m)\geq0$，解得$m\leq0$。
∴m的取值范围是$m\leq0$。
(2)根据题意得$x_{1}+x_{2}=-2m$，$x_{1}x_{2}=m^{2}+m$。
∵$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=12$，
∴$(-2m)^{2}-2(m^{2}+m)=12$，即$m^{2}-m-6=0$，解得$m_{1}=-2$，$m_{2}=3$(舍去)。
∴m的值为-2。

17. 已知关于 $x$ 的方程 $(m^2 - 1)x^2 - 3(3m - 1)x + 18 = 0$ 有两个正整数根($m$ 是正整数).$\triangle ABC$ 的三边 $a$,$b$,$c$ 满足 $c = 2\sqrt{3}$,$m^2 + a^2m - 8a = 0$,$m^2 + b^2m - 8b = 0$.求：
(1)$m$ 的值.
(2)$\triangle ABC$ 的面积.

答案：
(1)
∵关于x的方程$(m^{2}-1)x^{2}-3(3m-1)x+18=0$有两个正整数根(m是正整数)，
∴$\Delta=(9m-3)^{2}-72(m^{2}-1)=9(m-3)^{2}\geq0$。
设$x_{1},x_{2}$是此方程的两个根，则$x_{1}x_{2}=\frac{18}{m^{2}-1}$，
∴$\frac{18}{m^{2}-1}$也是正整数，即$m^{2}-1=1$或2或3或6或9或18。又
∵m为正整数，
∴m=2。
(2)把m=2代入$m^{2}+a^{2}m-8a=0$，$m^{2}+b^{2}m-8b=0$，化简得$a^{2}-4a+2=0$，$b^{2}-4b+2=0$。
当a=b时，$a=b=2\pm\sqrt{2}$。
当a≠b时，a,b是方程$x^{2}-4x+2=0$的两根。
①a≠b，$c=2\sqrt{3}$时，$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=16-4=12=c^{2}$。
∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°。
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=1$。
②$a=b=2-\sqrt{2}$，$c=2\sqrt{3}$时，因$2(2-\sqrt{2})＜2\sqrt{3}$，故不能构成三角形，不合题意，舍去。
③$a=b=2+\sqrt{2}$，$c=2\sqrt{3}$时，因$2(2+\sqrt{2})＞2\sqrt{3}$，故能构成三角形。
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×(2\sqrt{3})×\sqrt{(2+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{9+12\sqrt{2}}$。
综上所述，△ABC的面积为1或$\sqrt{9+12\sqrt{2}}$。